exercice sur la trigonométrie

Bonjour, j'ai un travail à rendre le plus rapidement possible mais je suis bloqué sur 2 exercices.
Exercice 1: x est un réel tel que x appartient à [3pi;4pi] et cos x = 5 sur 13.
Calculer sin x, cos(5pi-x) et sin(5pi sur 2 -x).

Exercice 2: 1. Résoudre dans R l'équation cos x = racine de 3 sur 2.
2. a. Démontrer que racine (19-8racine3) = 4-racine de 3
b. Résoudre dans R l'équation 2X exposant 2 - (4+racine de 3 )X + 2racine de 3 = 0
3. En déduire les solutions dans [0;2pi[ de l'équation 2cos au carré x - (4 + racine de 3 ) cos x + 2 racine de 3 = 0.

Merci d'avance pour le temps que vous me consacrerez.

Bonjour leo04,

Un seul exercice par post donc ouvre un autre post pour l'exercice 2.

pour l'exercice 1 :
Pour le calcul de $s i n x$ applique : $cos^2x + sin^2x = 1$
Pour les autres, applique les relations :
$c o s (a - b) = . . . . .$
$s i n (a - b) = . . . .$

Bonjour, désolé pour les 2 exercices, concernant l'exercice 1 j'obtiens:

cos exp2 x + sin exp2 x = 1 <=> (5sur13) exp2 + sin exp2 x = 1 <=> -144 sur 169 = sin exp2 x
<=> sinx = racine (-144 sur 169) = 12 sur 13. Est-ce bien cela ?

Pour les autres, désolé mais je ne sais pas comment appliquer les relations, c'est un chapitre que je n'ai pas bien compris.
Merci d'avance, Léo

@leo04

Une erreur de signe :
Tu obtiens : $sin2x=144169sin^2x = \dfrac{144}{169}$
qui a pour solutions : $\dfrac{12}{13}$ ou $-\dfrac{12}{13}$
comme $x$ appartient à l'intervalle $[3π;4π][3\pi ; 4\pi]$ son sinus est négatif, donc .......

$c o s (a - b) = c o s a c o s b + s i n a s i n b$
$s i n (a - b) = s i n a c o s b - c o s a s i n b$

Je ne comprends pas pourquoi si x appartient à l'intervalle [3pi;4pi] son sinus est négatif... mais c'est donc -12 sur 13.

cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
= -5x5 sur 13 + 0 x -12sur 13
= -25 sur 13 = -1,92
est-ce bien cela ? merci d'avance

Utilise le cercle trigonométrique pour déterminer le signe du sinus.

$cos(5π−x)=cos(5π)cosx+sin(5π)sinxcos(5\pi - x)= cos(5\pi)cos x + sin(5\pi)sinx$ =
$−1×513+(−1213)×0-1\times \dfrac{5}{13} + (-\dfrac{12}{13}) \times 0$ = .....

Laisse le résultat sous une écriture fractionnaire.

Ok j'ai compris par rapport au cercle trigonométrique, merci. En revanche sachant que cospy = -1, cos5pi ne devrait pas être ég

égale à -5

@leo04

Non,
$(5\pi) = cos(\pi +4\pi) = cos(\pi)= -1$ .
Même calcul pour $sin(5π)sin(5\pi)$ .

Okay, donc cos(5pi-x) = -5 sur 13
et sin (5pi sur 2 -x) = -12 sur 13. Est-ce bien cela ?

@leo04

Une méthode plus rapide :
$cos(5π−x)=cos(π−x)=−cosx=−513cos(5\pi - x) = cos(\pi-x) = -cosx = -\dfrac{5}{13}$
$sin(5π2−x)=sin(π2−x)=cosx=513sin(\dfrac{5\pi}{2} -x)=sin(\dfrac{\pi}{2}-x) = cos x = \dfrac {5}{13}$

Pafait merci, l'endroit ou je bloque en général est le moment ou il faut réussir à transformer les cos(pi sur quelque chose) en une formule que j'ai appris dans le cours, ex = cos(13pi sur 6) = cos(2pi + 1( sur 6)pi).