Exercices de Récurrence

[Un Ancien Utilisateur]

Bonsoir pouvez vous m'aider ? Je n'arrive pas à faire ces récurrences:
1)On donne la suite (Un) suivante: $U_{n+1}=2Un-3$ et $U_0=7$.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, $U_n=2^{n+2}+3$
2)On considère la suite (Vn) suivante: $V_{n+1}=\sqrt{V_n+1}$ et $V_0=1$
Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0<$U_n$<$U_{n+1}$<2. Que peut on en déduire ?

Merci d'avance pour vos réponses

Formules re-écrites en Latex par la modération

[Noemi]

Bonsoir Loan-Bremont,

1. Initialisation
   On vérifie la valeur $U_0$ :
   $U_0=2^2+3=7$
2. Hérédité
   On suppose la propriété vraie à l'ordre $k$, on la démontre pour l'ordre $k+1$.
   Si $U_k=2^{k+2}+3$, il faut démontrer que $U_{k+1}=2^{k+3}+3$.
   $U_{k+1}=2(2^{k+2}+3)-3$ = $2^{k+3}+6-3=2^{k+3}+3$.

Applique le même raisonnement pour la deuxième suite.

[Un Ancien Utilisateur]

@Noemi Merci beaucoup je te renvoie un message si jamais je n'y arrive pas

[Noemi]

@Loan-Bremont

La suite $V_n$ est-elle définie par : $V_{n+1}=\sqrt{V_n+1}$ ?

[Un Ancien Utilisateur]

@Noemi Oui c'est ça

[Noemi]

@Loan-Bremont

1. Initialisation
   On calcule la valeur $V_1$ :
   $V_1=\sqrt{2}$
   On vérifie que $0<V_0<V_1<2$ soit
   $0<1<\sqrt{2}<2$

2. Hérédité
   On suppose la propriété vraie à l'ordre $k$, on la démontre pour l'ordre $k+1$.
   Si $0<V_k<V_{k+1}<2$, il faut démontrer que $0<V_{k+1}<V_{k+2}<2$

[Un Ancien Utilisateur]

@Noemi Donc pour l'hérédité je multiplie 0<Vn<Vn+1<2 par Vn qui donne Vn<Vn+1<Vn+2 et on peut ajouter 0<Vn devant aussi ?

[Noemi]

@Loan-Bremont

Non,
Tu ajoutes 1 à l'inégalité et tu passes à la racine carrée.
$0<V_k<V_{k+1}<2$
$1<V_k+1<V_{k+1}+1<2+1$
$\sqrt{1}<\sqrt{V_k+1}<\sqrt{V_{k+1}+1}<\sqrt{3}$

puis tu déduis :
$0<V_{k+1}<V_{k+2}<2$