équations de droite



  • bonjour je suis complètement bloquée pourriez vous m'aider svp
    1/soit la droite d'équation ax+by+c=0 et un point A (xA;yA). on note H(xh; yh) le projeté orthogonal de A sur
    A/ donner les coordonnées d'un vecteur normal à la droite
    pour celle la j'ai trouvé
    B/ calculer le produit scalaire n.AH de deux façons différentes
    C/ en déduire la distance du point A à la droite :
    AH= |axA + byA+ c| / sqrtsqrt(a^2 + b^2)

    d/ application numérique : calculer la distance des points A(6;3) et B (-5;2) à la droite d'équation 4x + 3y -12= 0

    2/ Soit deux droites parallèles D d'équation ax +by +c=0 et D' d'équation ax + by +c' =0
    a/ Soit A appartenant à D et A' le projeté orthogonal de A sur D'. La distance AA' est la distance des droites D et D'. Démontrer en utilisant 1c que AA' = |c-c'| /sqrtsqrt(a^2 + b^2)

    B/ calculer la distance des droites D d'équation 2x + y -4 =0 et D' d'équation 2x+y+1=0

    merci beaucoup d'avance



  • Avec nn^\rightarrow(a ; b) et AHAH^\rightarrow(xH(x_H - xAx_A ; yHy_H - yAy_A), le produit scalaire en repère orthonormé est donné par
    nn^\rightarrow. AHAH^\rightarrow = a(xHa(x_H - xAx_A) + b(yHb(y_H - yAy_A)
    = a xHx_H + byHby_H - a xAx_A - b yAy_A
    = -c - a xAx_A - b yAy_A
    car H étant sur le droite, alors ses coordonnées vérifient l'équation de celle-ci.

    Ensuite, les vecteurs nn^\rightarrow et AHAH^\rightarrowétant colinéaires, on a aussi
    nn^\rightarrow. AHAH^\rightarrow = + ou - ||nn^\rightarrow|| AH.

    Alors, on a ||nn^\rightarrow|| = sqrtsqrt(a² + b²), et donc
    (+ ou -) ||nn^\rightarrow|| AH = -c - a xAx_A - b yAy_A
    d'où AH = ce qui est attendu (la distance étant positive, on est conduit à cette valeur absolue). Por d), tu n'as qu'à appliquer cette jolie formule.



  • merci donc pour AH = 4.2 cm? c'est cela?



  • et BH= 5.2 cm??



  • je ne veux pas faire les vérifications numériques ! j'imagine qu'en 1re S tu sais substituer sans erreur ni inattention dans cette formule

    http://pix.nofrag.com/b6/e6/5267a4f3794d63e61585d08cb9f3.jpeg
    qui donne la distance du point A à la droite D, comme le quotient

    • de l'équation de D évaluée en A, en valeur absolue
    • par la norme du vecteur directeur associé à cette équation.

    On verra la 2e formule plus tard.



  • merci mais comment faire la question 2 svp? car A et A' ont les mêmes coordonnées



  • pour 2/

    les droites D et D' sont parallèles n'est-ce pas...
    A et A' n'ont pas les mêmes coordonnées.

    la fomule du 1c appliquée à A donne
    d(A,D') = AA' = |a xAx_A + b yAy_A + c'| / sqrtsqrt(a² + b²)
    or, puisque A est sur D, ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite, d'où a xAx_A + b yAy_A = -c.

    La relation demandée en résulte.



  • remarque : si tu réfléchis au fait que c-c' est la différence entre les ordonnées à l'origine, c'est-à-dire de façon imagée "l'écart en ordonnée" des deux droites parallèles, alors il est naturel que la distance de celles-ci soit |c - c'| j^\rightarrow. n^\rightarrow/||n^\rightarrow||.

    http://pix.nofrag.com/1f/9e/77d826c35e0751804611877ba8c8.jpeg



  • merci pour votre


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