Coordonnées d'une vecteur normal à la droite, produit scalaire et distance d'une droite

bonjour je suis complètement bloquée pourriez vous m'aider svp
1/soit la droite d'équation ax+by+c=0 et un point A (xA;yA). on note H(xh; yh) le projeté orthogonal de A sur
A/ donner les coordonnées d'un vecteur normal à la droite
pour celle la j'ai trouvé
B/ calculer le produit scalaire n.AH de deux façons différentes
C/ en déduire la distance du point A à la droite :
AH= |axA + byA+ c| / $s q r t$ (a^2 + b^2)

d/ application numérique : calculer la distance des points A(6;3) et B (-5;2) à la droite d'équation 4x + 3y -12= 0

2/ Soit deux droites parallèles D d'équation ax +by +c=0 et D' d'équation ax + by +c' =0
a/ Soit A appartenant à D et A' le projeté orthogonal de A sur D'. La distance AA' est la distance des droites D et D'. Démontrer en utilisant 1c que AA' = |c-c'| / $s q r t$ (a^2 + b^2)

B/ calculer la distance des droites D d'équation 2x + y -4 =0 et D' d'équation 2x+y+1=0

merci beaucoup d'avance

Avec $n→n^\rightarrow$ (a ; b) et $A H$ ^\rightarrow $x_H$ - $x_A$ ; $y_H$ - $y_A$ ), le produit scalaire en repère orthonormé est donné par
$n→n^\rightarrow$ . $AH→AH^\rightarrow$ = $a(x_H$ - $x_A$ ) + $b(y_H$ - $y_A$ )
= a $x_H$ + $by_H$ - a $x_A$ - b $y_A$
= -c - a $x_A$ - b $y_A$
car H étant sur le droite, alors ses coordonnées vérifient l'équation de celle-ci.

Ensuite, les vecteurs $n→n^\rightarrow$ et $AH→AH^\rightarrow$ étant colinéaires, on a aussi
$n→n^\rightarrow$ . $AH→AH^\rightarrow$ = + ou - || $n→n^\rightarrow$ || AH.

Alors, on a || $n→n^\rightarrow$ || = $s q r t$ (a² + b²), et donc
(+ ou -) || $n→n^\rightarrow$ || AH = -c - a $x_A$ - b $y_A$
d'où AH = ce qui est attendu (la distance étant positive, on est conduit à cette valeur absolue). Por d), tu n'as qu'à appliquer cette jolie formule.

merci donc pour AH = 4.2 cm? c'est cela?

et BH= 5.2 cm??

je ne veux pas faire les vérifications numériques ! j'imagine qu'en 1re S tu sais substituer sans erreur ni inattention dans cette formule

qui donne la distance du point A à la droite D, comme le quotient

de l'équation de D évaluée en A, en valeur absolue
par la norme du vecteur directeur associé à cette équation.

On verra la 2e formule plus tard.

merci mais comment faire la question 2 svp? car A et A' ont les mêmes coordonnées

pour 2/

les droites D et D' sont parallèles n'est-ce pas...
A et A' n'ont pas les mêmes coordonnées.

la fomule du 1c appliquée à A donne
d(A,D') = AA' = |a $x_A$ + b $y_A$ + c'| / $s q r t$ (a² + b²)
or, puisque A est sur D, ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite, d'où a $x_A$ + b $y_A$ = -c.

La relation demandée en résulte.

remarque : si tu réfléchis au fait que c-c' est la différence entre les ordonnées à l'origine, c'est-à-dire de façon imagée "l'écart en ordonnée" des deux droites parallèles, alors il est naturel que la distance de celles-ci soit |c - c'| j $→^\rightarrow$ . n $→^\rightarrow$ /||n $→^\rightarrow$ ||.

merci pour votre