Devoir maison sur la racine carre de 2

Bonjour
Je ne sais pas quoi dire. Notre prof nous lance des devoirs sans réfléchir. Il faut démontrer "des choses" car je ne comprends absoulement rien de se DM. quand notre classe a demande son aide, il nous a "expliqué" mais son explication a encore compliqué la vie.

Je ne fais pas ce post pour que vous me fassiez le devoir, mais au moin de savoir comment le faire

Allons-y

I- On cosidère un nombre réel a strictement positif et distinct de √2

1- Démontrer que a et 2/a encadrent √2. pour ceci on traitera les questions a,b et c suivantes :
a- Si 0<a<√2, démontrer que a<√2<2/a
b-Si a>√2, démontrer que a>√2>2/a
c- En déduire le résultat demandé

2- Démontrer qu'alors leur moyenne arithmétique "1/2 (a + 2 / a ) est supérieure à √2. Pour ceci on étudiera la différence d=1/2(a+2/a)-√2.

3- Vérifier alors que :
a- Si 0<a<√2, alors a<2/a<1/2(a+2/a)<a
b- Si a>√2, alors 2/a<1/2(a+2/a)<a

II- Chaque valeur approchée de a permet ainsi d'obtenir une autre approchée encore meilleure.

En prenant pour a la valeur de 1, déterminer les cinq premiers encadrements de √2 par des rationnels ; dans chaque cas on donnera l'amplitude de l'encadrement.

Par exemple, au premier rang, on obtient :
a=1, 2/a=2, 1≤√2≤2, 1/2(a+2/a)=3/2, d=2-2/a=1.

On recommence alors avec a=3/2.

Merci d'avance.

Bonjour Prince-Of-Darkness,

Pour les premières questions, il faut utiliser les propriétés des inégalités.
1 a- si $0<a<20\lt a\lt \sqrt2$ , $1a>.....\dfrac{1}{a} \gt .....$

b- si $a>2a\gt\sqrt2$ , $1a<....\dfrac{1}{a}\lt ....$

Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.

@Noemi pour repondre il fait bien comprendre
Dans notre cas, j'ai rien compris

@Prince-Of-Darkness

Complète les pointillés .

@Noemi Je n'ai pas de racine carrée sur mon smarrphone donc je mets V2 pour racine de 2.

1a.

Si o <a< V2, alors a <V2

Donc 1/a > 1/V2 donc en multipliant par 2 de chaq côté : 2/a > 2/V2

Donc 2/a > V2 ( car 2/V2 = V2)

Avec ce qui est en gras, on a prouvé que a<V2<2/a.

Question 1b : pareil en changeant le sens des symboles.

Question 1c: avec les questions 1a et 1b, on a montré que V2 est toujours entre a et a/2.

Est-ce que c'est ca ?

@Prince-Of-Darkness

C'est correct.
Pour le 1c, il faut préciser en fin de phrase : pour tout $a$ réel positif.

Pour la question 2, cherche un encadrement de $d$ .

@Noemi Je mets ^2 pour "au carre"

1/2(a + 2/a) -V2

= a/2 + 1/a - V2 ensuite on met tout sur 2a

= a^2/2a + 2/2a -2aV2 /2a

= (a^2 -2aV2 +2)/2a

Le contenu de la parenthèse, c'est A^2 - 2AB + B^2* avec A=a et B = V2. Ça se factorise en (A -B)^2

= (a - V2) ^2 / 2a

Le numérateur est positif car c'est un carré, le dénominateur est positif car a est positif,

Donc d>0. mais apres je planche.

@Prince-Of-Darkness

Tu as montré que $d$ est positif tu dois en déduire que la moyenne est supérieure à $2\sqrt2$ .

Pour la question 3 utilise les résultats précédents.

@Noemi Je sais que je suis devenu lourd mais vous etes ma seule solution donc dsl pour mon super niveau en maths . Pouriez vous explique en plus de detailles SVP

@Prince-Of-Darkness

L'énoncé est correct pour la question 3 ?

@Noemi Non, desole il a change l'enonce

l'enonce correct est :
3- verifier alors que :
a. Si 0<a<V2, alors a<1/2(a+2/a)<2/a

b. Si a>V2, alors 2/a<1/2(a+2/a)<a.

@Prince-Of-Darkness

Pour le a.
A partir de $0<a<20\lt a \lt \sqrt2$ et de $2<12(a+2a)\sqrt2 \lt \dfrac{1}{2}(a+\dfrac{2}{a})$ ,
tu déduis : $\lt \dfrac{1}{2}(a+\dfrac{2}{a})$
de $0<a<20\lt a \lt \sqrt2$ tu déduis $a2<2a^2 \lt 2$ et $12a<1a\dfrac{1}{2}a \lt \dfrac{1}{a}$
d'ou $12a+1a<2a\dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{a} \lt \dfrac{2}{a}$

Applique le même raisonnement pour b.