Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires



  • Bonjour à tous comment allez vous ?
    J'aimerais savoir si vous pouviez m'aider parce que j'avoue que je ne suis vraiment pas douée en maths et on vient de commencer ce chapitre.
    Alors voici l'exercice:
    Soit f(x)=-3x^3+4x+1 Montrer que l'équation f(x)=0,5 et qu'elle admet exactement 3 solutions.
    Merci d'avance pour vos réponses 😉


  • Modérateurs

    @Loan-Bremont , bonjour,

    Piste,

    3x3+4x+1=0.5-3x^3+4x+1 =0.5 <=>3x3+4x+10.5=0-3x^3+4x+1 -0.5=0 <=>3x3+4x+0.5=0\fbox{-3x^3+4x+0.5 =0}

    Tu peux poser g(x)=3x3+4x+0.5\fbox{g(x)=-3x^3+4x+0.5}

    Tu étudies les variations de g su R puis tu utilises le TDI sur chacun des trois intervalles où g est strictement décroissante ou strictement croissante.

    Pour les variations de g, tu dois trouver après calculs :

    g strictement décroissante pour x23x \le\dfrac{2}{3}

    g a un minimum (relatif) égal à -2318\dfrac{23}{18} pour x=23-\dfrac{2}{3}

    g strictement croissante pour 23x+23-\dfrac{2}{3} \le x\le +\dfrac{2}{3}

    g a un maximum (relatif) égal à 4118\dfrac{41}{18} pour x=23\dfrac{2}{3}

    g strictement décroissante pour x23x \ge \dfrac{2}{3}

    Reposte si tu n'y arrives pas.



  • @mtschoon Bonjour,
    Ok merci je galère pour les tableaux de signes et de variations je comprends vraiment rien je dois d'abord calculer la limite de f(x) non ?


  • Modérateurs

    @Loan-Bremont ,

    Commence par calculer la dérivée g'(x) et étudie son signe ;
    Tu auras ainsi le sens de variation de la fonction g (que je t'ai donné pour que tu puisses vérifier) .et tu mettras tout ça sous forme de tableau de variation.

    Tu dois trouver g(x)=9x2+4g'(x)=-9x^2+4
    puis
    Tu dois trouver un tableau de variation ressemblant à ça :
    tableau.jpg
    (le tableau n'est pas très bien fait car en Latex, ce n'est pas très commode...)



  • @mtschoon J'ai bien cette dérivée par contre pour le calcul des limites je me souviens plus



  • @mtschoon On fait delta non ?


  • Modérateurs

    Si tu parles de la recherche des valeurs qui annulent la dérivée, vu que c'est un cas simple, tu n'as pas besoin de Δ\Delta

    9x2+4=0-9x^2+4=0 <=> 9x2=4-9x^2=-4 <=> x2=49x^2=\dfrac{-4}{-9} <=> x2=49x^2=\dfrac{4}{9}

    les nombres dont la carré vaut 49\dfrac{4}{9} sont x=... et x=... (je te laisse trouver)

    Lorsque tu as les deux solutions de g'(x)=0, vu que g'(x) est un polynôme du second degré avec a=-3, tu appliques le théorème usuel (signe de a, signe de -a, signe de a)


  • Modérateurs

    Les limites semblent aussi de te poser problème.
    Vu que tu postes en Terminale S, je pense que tu sais que, en ++\infty ou -\infty, la limite d'un polynôme est la limite de son terme de plus fort degré (ce théorème t'évite une mise en facteur)

    Tu cherches donc le limite de 3x3-3x^3

    Lorsque x tend vers ++\infty, x3x^3 tend vers ++\infty, 3x3-3x^3 tend vers -\infty donc g(x)g(x) tend vers -\infty

    Applique la même démarche lorsque x tend vers -\infty


  • Modérateurs

    Conclusions pour consultation éventuelle

    1er cas : x],23]x\in \biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]
    g est définie, dérivable donc continue et strictement décroissante donc bijective de de ],23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl] vers [2318,+[\biggl[\dfrac{-23}{18}, +\infty\biggl[
    0[2318,+[0\in \biggl[\dfrac{-23}{18}, +\infty\biggl[ donc 0 a un antécédent unique dans ],23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]
    L'équation g(x)=0 a donc une solution unique dans ],23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]
    Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de I

    2ème cas : x]23,+23[x\in \biggl]\dfrac{-2}{3},+\dfrac{2}{3}\biggl[
    même principe.
    Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de J

    3ème cas : x[23,+[x\in\biggl[\dfrac{2}{3},+\infty\biggl[
    même principe.
    Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de K

    D'ou la réponse demandée

    Graphique relatif à g :
    Cube.jpg

    Remarque : Utiliser la fonction g pour étudier g(x)=0 est clair.
    ll est bien sûr tout aussi possible de faire le même raisonnement en utilisant la fonction f pour étudier f(x)=1/2.
    C'est une question de goût personnel...

    Graphique relatif à f :
    CubeBis.jpg


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