Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires

Bonjour à tous comment allez vous ?
J'aimerais savoir si vous pouviez m'aider parce que j'avoue que je ne suis vraiment pas douée en maths et on vient de commencer ce chapitre.
Alors voici l'exercice:
Soit f(x)=-3x^3+4x+1 Montrer que l'équation f(x)=0,5 et qu'elle admet exactement 3 solutions.
Merci d'avance pour vos réponses

@Loan-Bremont , bonjour,

Piste,

$3x^3+4x+1 =0.5$ <=> $3x^3+4x+1 -0.5=0$ <=>$\fbox{-3x^3+4x+0.5 =0}$

Tu peux poser $\fbox{g(x)=-3x^3+4x+0.5}$

Tu étudies les variations de g su R puis tu utilises le TDI sur chacun des trois intervalles où g est strictement décroissante ou strictement croissante.

Pour les variations de g, tu dois trouver après calculs :

g strictement décroissante pour $\le\dfrac{2}{3}$

g a un minimum (relatif) égal à - $2318\dfrac{23}{18}$ pour x= $−23-\dfrac{2}{3}$

g strictement croissante pour $−23≤x≤+23-\dfrac{2}{3} \le x\le +\dfrac{2}{3}$

g a un maximum (relatif) égal à $4118\dfrac{41}{18}$ pour x= $23\dfrac{2}{3}$

g strictement décroissante pour $\ge \dfrac{2}{3}$

Reposte si tu n'y arrives pas.

@mtschoon Bonjour,
Ok merci je galère pour les tableaux de signes et de variations je comprends vraiment rien je dois d'abord calculer la limite de f(x) non ?

@Loan-Bremont ,

Commence par calculer la dérivée g'(x) et étudie son signe ;
Tu auras ainsi le sens de variation de la fonction g (que je t'ai donné pour que tu puisses vérifier) .et tu mettras tout ça sous forme de tableau de variation.

Tu dois trouver $g'(x)=-9x^2+4$
puis
Tu dois trouver un tableau de variation ressemblant à ça :

(le tableau n'est pas très bien fait car en Latex, ce n'est pas très commode...)

@mtschoon J'ai bien cette dérivée par contre pour le calcul des limites je me souviens plus

@mtschoon On fait delta non ?

Si tu parles de la recherche des valeurs qui annulent la dérivée, vu que c'est un cas simple, tu n'as pas besoin de $Δ\Delta$

$9x^2+4=0$ <=> $9x^2=-4$ <=> $x2=−4−9x^2=\dfrac{-4}{-9}$ <=> $x2=49x^2=\dfrac{4}{9}$

les nombres dont la carré vaut $49\dfrac{4}{9}$ sont x=... et x=... (je te laisse trouver)

Lorsque tu as les deux solutions de g'(x)=0, vu que g'(x) est un polynôme du second degré avec a=-3, tu appliques le théorème usuel (signe de a, signe de -a, signe de a)

Les limites semblent aussi de te poser problème.
Vu que tu postes en Terminale S, je pense que tu sais que, en $+∞+\infty$ ou $−∞-\infty$ , la limite d'un polynôme est la limite de son terme de plus fort degré (ce théorème t'évite une mise en facteur)

Tu cherches donc le limite de $3x^3$

Lorsque x tend vers $+∞+\infty$ , $x^3$ tend vers $+∞+\infty$ , $3x^3$ tend vers $−∞-\infty$ donc $g (x)$ tend vers $−∞-\infty$

Applique la même démarche lorsque x tend vers $−∞-\infty$

Conclusions pour consultation éventuelle

1er cas : $x∈]−∞,−23]x\in \biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]$
g est définie, dérivable donc continue et strictement décroissante donc bijective de de $]−∞,−23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]$ vers $[−2318,+∞[\biggl[\dfrac{-23}{18}, +\infty\biggl[$
$0∈[−2318,+∞[0\in \biggl[\dfrac{-23}{18}, +\infty\biggl[$ donc 0 a un antécédent unique dans $]−∞,−23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]$
L'équation g(x)=0 a donc une solution unique dans $]−∞,−23]\biggl]-\infty,-\dfrac{2}{3}\biggl]$
Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de I

2ème cas : $x∈]−23,+23[x\in \biggl]\dfrac{-2}{3},+\dfrac{2}{3}\biggl[$
même principe.
Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de J

3ème cas : $x∈[23,+∞[x\in\biggl[\dfrac{2}{3},+\infty\biggl[$
même principe.
Graphiquement, l'unique solution dans cet intervalle est l'abscisse de K

D'ou la réponse demandée

Graphique relatif à g :

Remarque : Utiliser la fonction g pour étudier g(x)=0 est clair.
ll est bien sûr tout aussi possible de faire le même raisonnement en utilisant la fonction f pour étudier f(x)=1/2.
C'est une question de goût personnel...

Graphique relatif à f :