Dm sur les fonctions



  • Bonjour j’ai un dm sur les fonctions j’ai un peu de mal a le faire, du moins j’aimerai etre sur de mes reponses avant de continuer. Nous venons de commencer le chapitre.
    Énoncé:
    On considere la fonction f definie sur R -{2}=]-l’infini;2[U]2;+l’infini[ par f(x)=(2x^2-3x-1)/x-2
    On appelle Cf la courbe representative dans un repere orthonormal (0;i;j)
    1-a) a l´aide d’un logiciel la courbe a été tracée
    •Conjecturee les limites de f au bornes de son ensemble de définition
    Mes réponses : en -l’infini la limite est -l’infini
    En 2- la limite est -lninfini
    En 2+ la limite est + l’infini
    Et en + linfini est + l’infini
    •Conjecturer le sens de variation de la fonction f sur son domaine de definition
    La fonction semble etre croissante sur son domaine de definition
    1-b) demontrer vos limites conjecturées et en deduire l’existence d’eventuelles asymptotes paralleles aux axes du repere.
    Mes reponses : j’ai trouvé que les limites etaient coherentes avec celle conjecturees.
    J’ai ensuite dis que lorsque x tendait vers -+ linfini il y avait 2 asymptotes d’equation y=2x et donc parallèles a l´axe des abcisses.
    Lordque x tend vers 2 alors 2 asymptotes d’equation x=2 et paralleles a l´axe des ordonnes.
    1-c) f’(x)= (2x^2-8x+7)/(x-2)^2
    Deduire les variations de la fonction f sur son domaine de definition puis dressee le tableau de variation.
    J’ai donc calculer f’(x)=0 soit le numerateur = 0 j’ai fais une equation du 2nd degré avec comme solution x1= (4-racine2)/2 et x2 = (4+racine2)/2
    Puis j’ai dressé le tableau de signe avec + aux extrémités des 0 et - au milieu
    J’ai ensuite fait le signe de (x-2)^2 qui s’annule lorsque x=2 et j’ai mis + a droite du 0 et - a gauche j’en ai ensuite deduis que la fonction f était croissante de -l’infini a 2 et de 2 a + l’infini
    Or je pense avoir fait faux qlq part car en regardant le graphique ce n’est pas ce que j’aurait deduit
    Merci d´avance si vous m’aidez


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    Une remarque lorsque tu écris des formules.
    Si tu n'écris pas en Latex, mets suffisamment de parenthèses en éviter toute ambiguité.

    Je suppose que tu parles de f(x)=2x2−3x−1x−2f(x)=\dfrac{2x^2-3x-1}{x-2}f(x)=x22x23x1
    Tu aurais dû écrire:
    f(x)=2x^2-3x-1)/(x-2)

    Je te joins la courbe avec les 2 asymptotes d'équations x=2 et y=2x+1

    Fonction.jpg

    Je regarde tes réponses
    1)a)Pour les limites : c'est bon

    Le sens de variation que tu proposes n'est pas bon.
    Pour x< 2, f est croissante puis décroissante
    Pour x>2, f est décroissante puis croissante

    1)b) En ce qui concerne les asymptotes, dans cette question, on te demande seulement les asymptotes éventuelles parallèles aux axes
    Il y en a une seule , parallèle à l'axe des ordonnées, d'équation x=2

    En +∞\infty et-∞\infty, il y a une asymptote oblique d'équation y=2x+1 que l'on ne te demande pas ( j'ignore si, avec ton cours, tu sais la trouver)

    1)c) la dérivée est bonne et les valeurs qui l'annulent aussi.

    Pour x≠2x\ne 2x=2, iL faut que tu trouves le signe du numérateur correctement (signe d'un polynôme du second degré)
    (signe de a, signe de -a, signe de a)

    Tu dois trouver un tableau de variation totalement conforme au graphique (sans oublier la double barre pour x=2).



  • @mtschoon
    Lorsqu’on me demande les asymptotes paralleles aux axes du répère cela veut dire paralleles a l´axe des ordonnes ?


  • Modérateurs

    @shana67
    asymptotes parallèles aux axes du répère veut dire : parallèle à l'axe des abscisses ou parallèle à l'axe des ordonnées.

    Ici, tu as une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (x=2)

    Il n'y a pas d'asymptote parallèle à l'axe des abscisses.



  • @mtschoon
    Pourquoi je ne donne pas cele qui est d´equation y=2x



  • @shana67
    EN ce qui concerne le tableau de signe et de variations j’ai reussi donc c’est bon.
    EN revanche j’ai dautre question sur mon Dm que je n’arrive pas a faire du coup je fais un autre post ou je les met a la suite ?


  • Modérateurs

    @shana67

    S'il s'agit de questions du même exercice, tu le mets ici.

    S'il s'agit d'un autre exercice, tu ouvres une autre discussion.


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    Je n'avais pas vu t'a question relative à y=2x

    y=2x n'est pas l'asymptote oblique. C'est faux
    L'asymptote oblique est y=2x+1 (il faut bien sûr connaître une méthode pour pouvoir le justifier...)

    Mais, en plus,dans cette question, l'énoncé ne te demande que les asymptotes éventuelles parallèles aux axes du repère, donc y=2x+1 n'est pas à donner ici car elle n'en fait pas partie.



  • @mtschoon
    2) en utilisant votre calculatrice, il semblerait qu’en + l’infini et en - l’infini la courbe Cf se rapproche d’une droite D non parallele aux axes du reperes. Le but de cet exercice es de determiner D et de justifier cette observation.
    2-a) determiner les reels a,b, c tels que pour tout reel x different de 2
    F(x)=ax+b+c/(x-2)
    Mes reponses :
    J’ai pensé a faire l’identificAtion
    Ainsi j'obtiens
    2x^2-3x-1/(x-2) = ax^2-2(ax+b)+bx+c/(x-2)
    Par identification j’obtiens
    a= 2
    b = -3
    c = -1
    ax+b=0
    Mais la je bloque
    2-b) on considere alors la droite D d’equation y=2x+1. Etudier les positions relatives de D Et cf
    2-c) soit x un reel different de 2 on appelle M et N les points d’abscisses x et situés respectivement sur cf et D. Exprimer la distance MN en fonction de x suivant les valeurs de x
    2-d) determiner les limites de la fonctions x—> MN en + l’infini et - l´infini et interpreter graphiquement les résultats


  • Modérateurs

    @shana67

    Et bien, voilà. Elle arrive l'asymptote oblique.

    Cette question est faite pour te faire trouver l'asymptote oblique (qui sera d'équation y=2x+1, à la fin de la démonstration)

    C'est bien la méthode par identification.
    Revois tes calculs.

    ax+b+cx−2=(ax+b)(x−2)+cx−2ax+b+\dfrac{c}{x-2}=\dfrac{(ax+b)(x-2)+c}{x-2}ax+b+x2c=x2(ax+b)(x2)+c

    Pour tout x différent de 2
    (ax+b)(x−2)+c=2x2−3x−1(ax+b)(x-2)+c=2x^2-3x-1(ax+b)(x2)+c=2x23x1
    Tu développes le membre de gauche , tu le mets sous forme d'un polynôme du second degré et tu identifies au membre de droite.

    Tu dois trouver a=2, b=1, c=1
    d'où
    $\fbox{f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x-2}}$

    IL faut que tu obtiennes ça; les questions suivantes en sont les conséquences.
    Donne tes calculs si tu trouves pas ton erreur.



  • @mtschoon
    Je ne comprend pas comment vous avez fait pour trouver b et c


  • Modérateurs

    @shana67
    Je viens de t'indiquer la méthode.

    J'explicite un peu

    (ax+b)(x−2)=2x2−3x−1(ax+b)(x-2)=2x^2-3x-1(ax+b)(x2)=2x23x1

    Après développement et regroupement:
    ax2+x(−2a+b)+c=2x2−3x−1ax^2+x(-2a+b)+c=2x^2-3x-1ax2+x(2a+b)+c=2x23x1

    Identification :

    {a=2−2a+b=−3c−2b=−1\begin{cases}a=2\cr-2a+b=-3\cr c-2b=-1\end{cases}a=22a+b=3c2b=1

    Tu résous ce système pour trouver a, b, c.



  • @mtschoon
    D’accord merci je vais reprendre ca


  • Modérateurs

    Oui, et reposte si besoin.

    Si tu as besoin d'un exemple traité pour comprendre la méthode, tu peux regarder ici :
    http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc1/polyfct4i.html



  • @mtschoon
    Re bonsoir je voulais juste savoir pourquoi on peut ecrire 2x^2-3x-1=(ax+b)(x-2)+c ?
    Pourquoi on retire la fraction (je sais que c’est plus simple pour calculer mais je voudrais quand meme comprendre svp



  • @mtschoon
    Concernant la question sur les positions relatives
    J’ai trouvé que f(x)-y=1/(x-2)
    J’ai ensuite dressé le tableau de variation ce qui m´a donne
    Sur ]- l’infini;2[ Cf est en en dessous de D
    Sur ]2;+ l’infini[ Cf est au dessus de D

    En revanche je ne suis pas sur car j’avais un doute sur le signe de la fonction inverse
    Je sais que c’est negatif de -l’infini a 0 puis positif de 0 a + l´infini mais pour cette exo je doute


  • Modérateurs

    @shana67

    Pour répondre à la question 2x2−3x−1=(ax+b)(x−2)+c2x^2-3x-1=(ax+b)(x-2)+c2x23x1=(ax+b)(x2)+c :

    Tu a, pour x≠2x\ne 2x=2, (ax+b)(x−2)+cx−2=2x2−3x−1x−2\dfrac{(ax+b)(x-2)+c}{x-2}=\dfrac{2x^2-3x-1}{x-2}x2(ax+b)(x2)+c=x22x23x1
    Les dénominateurs étant égaux, comme les quotients sont égaux, les numérateurs sont nécessairement égaux

    IDEE : Pour B≠0B\ne 0B=0 AB=CB\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{B}BA=BC <=> A=CA=CA=C

    ( Tu peux voir ou revoir la méthode avec le lien que je t'ai indiqué )

    Pour le 2)b) tes conclusions sont bonnes

    Pour x >2, x-2 >0 donc 1/(x-2) >0 donc f(x) > y donc (C) au dessus de( D)
    Pour x <2, x-2 <0 donc 1/(x-2) <0 donc f(x) < y donc (C) en dessous de (D)

    Pour les deux dernières lignes de ton message, explique de quoi tu parles, ce n'est pas clair.



  • @mtschoon
    D’accord je comprend mieux maintenant merci beaucoup.
    Concernant les 2 dernieres lignes ce n’est pas important vous y avez répondu indirectement



  • @mtschoon
    Pour la suite de l’exercice, les 2 dernieres questions, je ne sais ps trop comment faire
    Pour l’avant derniere je pensais utiliser la formule d’une longueur mais on ne connait pas les coordonnes des points M et N


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    Pour toute valeur de x différente de 2, l'ordonnée de M est f(x) et l'ordonnée de N est y=2x+1

    M(x,f(x)M(x, f(x)M(x,f(x)) et N(x,2x+1)N(x, 2x+1)N(x,2x+1)

    Tu peux utiliser la formule de la distance, mais tu peux raisonner encore plus simplement en calculant cette distance avec le graphique
    Tu as deux cas à voir : x < 2 et x > 2



  • @mtschoon

    Je vous avoue que je ne vois vraiment pas comment faire .. 😞


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    Le plus simple est, sur le schéma, pour une valeur de x quelconque, de placer M et N.
    Tu constateras que la distance MN et la différence des ordonnées de M et N
    Une distance est un nombre positif

    Pour x > 2, (C) est au dessus de (D) ; M est au dessus de N

    $MN=f(x)-(2x+1)=\fbox{\dfrac{1}{x-2}}$

    Tu étudies maintenant le cas x < 2


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    schéma pour aider

    FonctionBis.jpg



  • @mtschoon
    Pour x<2 Cf est en dessous de D donc N est au dessus de M
    Mais par le calcul c’est la meme chose non?



  • @mtschoon
    Je dois conclure que la longueur MN = 1/(x-2) ?


  • Modérateurs

    @shana67 , il faut faire attention au signe.

    Comme tu l'indiques, pour x < 2, N est au dessus de M

    La distance MN (qui doit être positive), est donc :

    $MN=(2x-1)-f(x)=-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{-1}{x-2}=\fbox{\dfrac{1}{2-x}}$

    Si tu voulais concentrer les deux cas (x > 2 et x < 2) en une seul, tu pourrais écrire avec des valeurs absolues :
    $\fbox{MN=\dfrac{1}{|x-2|}}$ mais cela ne semble pas être demandé.



  • @mtschoon
    D’accord donc MN lorsque x>2 MN = 1/(x-2) et lorsque x<2 MN= -1/(x-2)
    Je conclus de cette facon la ? Car comme vous le dites une longueur doit etre positive du coup je fais comment pour bien repondre a la consigne


  • Modérateurs

    @shana67

    L'énoncé indique : "Exprimer la distance MN en fonction de x suivant les valeurs de x"
    Donc, répondre avec les deux cas (x<2 et x > 2) est ce qui ést attendu.



  • @mtschoon
    D’accord merci bcp
    Et concernant la derniere question sur les limites
    x—-> MN en + et - l’infini
    Pour x<2
    Lim MN soit -1/(x-2)quand x tend vers + l’infini = 0
    Lim MN soit -1/(x-2)quand x tend vers - l’infini = 0
    Pour x>2
    Lim MN 1/(x-2)quand x tend vers + ou - l’infini
    = 0

    On peut donc interpreter cela en disant que à partir d’une certaine valeur la distance entre la droite et la courbe sera nulle ?


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    L'idée est bonne, mais fait attention.

    Pour la limite de MN lorsque x tend vers +∞\infty ,
    tu dois prendre seulement l'expression de MN valable pour x > 2

    Pour la limite de MN lorsque x tend vers -∞\infty ,
    tu dois prendre seulement l'expression de MN valable pour x < 2

    Dans les deux cas la limite de MN est 0, donc en +∞\infty et -∞\infty la droite (D) s'approche indéfiniment de la courbe (C), sans la toucher :
    (D) est asymptote à (C)