Dm de maths complexes

[Ajin21]

Bonjour j’ai un DM mais je ne comprend pas grand chose, je ne sais pas par quoi commencer

ÉNONCE :

A) On pose z = cos(x) +isin(x). En calculant 2^2 de 2 manières, exprimez cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos(x) et sin(x)

Il y a d’autres questions Qui dépendent de cette question mais je voudrais avoir la réponses a celle ci d’abord pour pouvoir chercher les autres par moi même

[Noemi]

Bonsoir Ajin21,

Je suppose que c'est en calculant $z^2$ de deux manières ?
Commence par calculer $(cos(x)+isin(x){)}^2$
Connais tu l'écriture exponentielle de $z$ ?

[Noemi]

@Ajin21

$z^2=co{s}^2(x)-si{n}^2(x)+2isin(x)cos(x)$
Tu peux modifier $z^2$ en utilisant la relation $co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$
$z^2=(e^{ix}{)}^2=e^{2ix}$
$z^2=cos(2x)+isin(2x)$

Tu en déduis les expressions de $cos(2x)$ et $sin(2x)$ en fonction de $sin(x)$ et $cos(x)$.

[mtschoon]

Bonjour,
Pour consultation éventuelle

Avec les explications de Noemi, en identifiant les parties réelles de $z^2$entre elles, on obtient :
$cos(2x)=co{s}^{2}x-si{n}^{2}x$
Comme $co{s}^{2}x+si{n}^{2}x=1$ on peut remplacer $co{s}^{2}x$ par $1-si{n}^{2}x$ , ou bien $si{n}^{2}x=1-co{s}^{2}x$

On trouver ainsi les égalités usuelles
$\fbox{cos(2x)=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x}$

En identifiant les parties imaginaires de $z^2$entre elles, on obtient l'égalité usuelle :
$\boxed{sin\left(2x\right)=2sinxcosx}$

Remarque :
Ces formules font partie du résumé pour le Bac S dans la rubrique "Trigonométrie" , ici :
https://www.mathforu.com/terminale-s/formulaire-resume-terminale-s/