Conjecture d une suite

[mathematiques123]

Bonjour , je rencontre un problème dans la resolution d un exercice
Voici l énoncé :
Soit la suite Vn definie sur N : Vn=(cos(n)-3)*(n+1)
1/ conjecturer le comportement a l infini de la suite v
2/ démontrer la conjecture émise à la question 1
3/ determiner un rang N pour lequel on est certain que pour tout entier n>N, on obtient Vn<-1000
Aidez moi svp j ai pas su repondre a aucune des questions

[Noemi]

Bonjour mathematiques123,

1/ Pour la conjecture, la suite Vn a pour limite $-\infty$.
2/ Pour la démonstration :
A partir de $-1\le cos(n)\le 1$, déduis le signe de $(cos(n)-3)$
puis la limite.

[mtschoon]

@mathematiques123 et @Noemi Bonjour,

Pour la 1) ,@mathematiques123 , tu dois conjecturer que Vn a pour limite $-\infty$

Pour faire cette conjecture , prends des exemples en donnant à n des valeurs tendant vers $+\infty$

Par exemple :
$n=100\pi =50(2\pi )$
$V_n=(1-3)(100\pi +1)$ d'où $V_n\approx -630$

$n=1000\pi$
$V_n\approx .....$

Pour la 2), suis les conseils de Noemi. et applique le théorème dit "des deux gendarmes"

[mtschoon]

Bonjour,
Pour mettre un terme à cet exercice que @mathematiques123 a dû déjà terminer,

Pour la 3)
$-1\le cos(n)\le +1$
$-4\le cos(n)-3\le -2$
$-4(n+1)\le (cos(n)-3)(n+1)\le -2(n+1)$
$\fbox{-4(n+1)\le V_n\le -2(n+1)}$
(encadrement qui a dû être fait à la question précédente pour obtenir la limite de la suite$(V_n$))

$-2(n+1)<-1000$ <=> $n+1>500$ <=> $n>499$

Donc,
Pour $\fbox{n \gt 499}$ ,
$V_n\le -2(n+1)<-1000$ donc $V_n<-1000$

En posant N=499, on est certain que pour tout $n>N$ , $\fbox{V_n\lt -1000}$

Remarque ; cette valeur de N trouvée répond à la question, mais il n'y a pas unicité, bien sûr.
Toute valeur de N supérieure à 499 convient.
En prenant un tableur (ou la fonction Table d'une calculette), on peut constater, sauf erreur, que l'inégalité $V_n<-1000$ est vraie à partir de N=490.

[Black-Jack]

@mtschoon a dit dans Conjecture d une suite :

Bonjour,
Pour mettre un terme à cet exercice que @mathematiques123 a dû déjà terminer,

Pour la 3)
$-1\le cos(n)\le +1$
$-4\le cos(n)-3\le -2$
$-4(n+1)\le (cos(n)-3)(n+1)\le -2(n+1)$
$\fbox{-4(n+1)\le V_n\le -2(n+1)}$
(encadrement qui a dû être fait à la question précédente pour obtenir la limite de la suite$(V_n$))

$-2(n+1)<-1000$ <=> $n+1>500$ <=> $n>499$

Donc,
Pour $\fbox{n \gt 499}$ ,
$V_n\le -2(n+1)<-1000$ donc $V_n<-1000$

En posant N=499, on est certain que pour tout $n>N$ , $\fbox{V_n\lt -1000}$

Remarque ; cette valeur de N trouvée répond à la question, mais il n'y a pas unicité, bien sûr.
Toute valeur de N supérieure à 499 convient.
En prenant un tableur (ou la fonction Table d'une calculette), on peut constater, sauf erreur, que l'inégalité $V_n<-1000$ est vraie à partir de N=490.

Bonjour,

Plutôt , me semble-t-il :

On peut constater que l'inégalité V_n < -1000 est vraie à partir de N=491.

[mathematiques123]

Merci à tous . Grâce à vous j’ai compris l’exercice

[mtschoon]

@Black-Jack ,

Bonjour,

Tu confonds n et N.
Tu sembles avoir mal vu l'inégalité au sens strict.

Avec tableur,
pour n=490 $V_n\approx -483.9$
pour n=491, $V_n\approx -1175.0$

C'est à partir de n=491 que l'inégalité $V_n>-1000$ est vraie MAIS l'énoncé indique $\fbox{n \gt N}$ (inégalité au sens strict) , donc c'est pour $\fbox{n\gt 490}$ que l'inégalité $V_n>-1000$ est vraie.

Donc $\boxed{N=490}$ (comme indiqué dans ma réponse)

[mtschoon]

@mathematiques123 ,

C'est très bien si tu as compris tout l'exercice.