DM de mathématiques sur les complexes

Bonjour, voila j'ai un dm et je ne sais pas vraiment comment le faire, je suis plutôt perdu, voici l’énonce

On note z1 la solution dont l'image dans le plan complexe se trouve dans le premier quadrant et on note son argument thêta. Montrer que 2Re(z1) + 2Re(z1^2) + 1 = 0
En déduire que : 4(cos(thêta))^2 + 2cos(thêta) - 1 = 0
Résolvez l’équation 4x^2 + 2x-1=0 (j'ai trouve 2 même racine qui est -(1+racine(3))/2
En déduire la valeur exacte de cos(2pi/5)

B) On considère la suite de nombres complexes (Zn) Telle que Zn = e^i((n*pi)/7) pour tout entier n naturel

Montrez que (Zn) ne contient qu'un nombre fini de termes différents
Complétez la table de multiplication

```
z0    z1    z2    z3    z4    z5    z6
```

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

Bonsoir Jan-1234,

L'énoncé est-il complet ?
$z_1$ est la solution de quelle équation ?

Oula oui pardon j'avais loupé une partie

Montrez que z5-1 = (z-1)(z4+z3+z2+z+1)
Resolvez l'equation z4+z3+z2+z+1 = 0 equation noté E5

Montrez si z1 est solution de l'equation E5 alors il existe z2 solution de E5 tel que (z1)=(z2)

@Jan-1234

A quoi correspond (z1) = (z2) ?

je ne sais pas du tout je m'etais dis que c'etait probablement des termes donné afin de pouvoir repondre a la question

@Jan-1234

$z4+z3+z2+z+1=z2(z2+z+1+1z+1z2)z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = z^2(z^2 + z + 1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac {1}{z^2})$

$z_1$ est un nombre complexe de module 1, donc $z1+1z1=2Re(z1)z_1 + \dfrac{1}{z_1} = 2 Re(z_1)$
et
$(z+1z)2=z2+1z2+2=4Re(z1)2(z+\dfrac{1}{z})^2 = z^2 + \dfrac{1}{z^2} + 2 = 4 Re(z_1)^2$
soit $z2+1z2=4Re(z1)2−2z^2 + \dfrac{1}{z^2} = 4 Re(z_1)^2 - 2$

A partir de : $z2+z+1+1z+1z2=0z^2 + z + 1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac {1}{z^2} = 0$
Tu déduis la relation demandée.
2. Utilise l'écriture trigonométrique de $z_1$
3. Vérifie tes calculs, tu dois trouver deux racines conjuguées comprenant $5\sqrt5$ .