Suite Un avec sigma (somme)

[Un Ancien Utilisateur]

Bonsoir, pourriez-vous m'aider ? J'ai beaucoup de mal avec ces sujets types bac, voici l'énoncé:
On définit une suite (Un) par U0=1 et Un+1= 0,5Un +1
On pose Sn= Sigma (indice n) k=0 Uk. Calculer la limite de la suite (Sn).
Merci d'avance pour vos réponses

[Noemi]

Bonsoir Loan-Bremont,

Exprime $Sn$ en fonction de $n$ puis calcule la limite.

[mtschoon]

@Noemi et @Loan-Bremont , bonjour,

@Loan-Bremont , je me demande si ton énoncé est entier .

La suite $(U_n)$ est une suite "arithméco-géométrique"
Pour trouver l'expression de $U_n$ en fonction de n, en principe, en Terminale, une méthode est indiquée dans l'énoncé.
Il y a bien sûr une technique pour la trouver mais, à ma connaissance, elle ne s'étudie pas en Terminale.

Je t'indique ce qui aurait pu être donné dans l'énoncé :
Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n=U_n-2$
Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique
En déduire, en fonction de n, l'expression de $V_n$ puis de $U_n$

Si tu fais les calculs, sauf erreur, tu dois trouver $\boxed{U_n=-0.5^n+2}$
Tu peux ensuite en déduire (en utilisant la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique) l'expression de la somme $S_n$ et sa limite.

Tiens nous au courant si tu n'y arrives pas.

[mtschoon]

@Loan-Bremont ,

Piste pour le calcul de $S_n$ connaissant l'expression de $U_n$

$S_n=\sum _{k=0}^{k=n}{U}_k=\sum _{k=0}^{k=n}(-0.5^k+2)$
$S_n=-\sum _{k=0}^{k=n}0.5^k+\sum _{k=0}^{k=n}2$

$\sum _{k=0}^{k=n}0.5^k$ est la somme des (n+1) premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0.5

$\sum _{k=0}^{k=n}0.5^k=1\times \frac{1-0.5^{n+1}}{1-0.5}=2(1-0.5^{n+1})$

$\sum _{k=0}^{k=n}2=2+....+2=2(n+1)$

Donc $S_n=-2(1-0.5^{n+1})+2(n+1)$

Tu peux développer et simplifier un peu.

$S_n=2(0.5^{n+1})+2n$

En utilisant les limites usuelles :

$\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=+\infty }$