DM terminale series de Riemann

Bonjour, j'ai des difficultés à finir ce DM. Pouvez vous m'indiquer si mes reponses sont exactes et m'aider a résoudre les dernieres

Les séries de Riemann sont les suite définies pour n $∈\in$ $N\mathbb{N}$ par : $u_{n}$ = $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1kα\dfrac{1}{k^\alpha}$
Nous allons etudier le comportement de ces séries pour certaines valeurs entières de $α\alpha$ .

Démontrer que la suite ( $u_{n}$ ) est croissante.
Pour cette question j'ai calculé $u_{n+1}$ - $u_{n}$ . J'obtiens un résultat positif donc je conclus que la suite est croissante.
Dans cette question, $α\alpha$ =1. On a donc: $u_{n}$ = $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1kα\dfrac{1}{k^\alpha}$
1.a Demontrer que pour tout n $∈\in$ $N\mathbb{N}$ : $u2n≥12u_{2n} \geq \dfrac{1}{2}$ + $u_{n}$ j'ai calculé $12\dfrac{1}{2}$ + $u_{n}$ - $u_{2n}$ . J'obitens un résultat négatif donc je conclus que $u2n≥12u_{2n} \geq \dfrac{1}{2}$ + $u_{n}$
1.b En déduire que ( $u_{n}$ ) diverge. J'utilise la définition d'une suite divergente : $∀\forall$ A $>\gt$ 0, $∃\exists$ N $∈\in$ $N\mathbb{N}$ tel que n $≥\geq$ N $\implies$ $u_{n}$ $>\gt$ A en remplacant A par $12\dfrac{1}{2}$ + $u_{n}$ et N par 2n dans la formule $u2n≥12u_{2n} \geq \dfrac{1}{2}$ + $u_{n}$ .
Dans cette question, on suppose $α\alpha$ =2. On a donc $u_{n}$ = $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1k2\dfrac{1}{k^2}$

2.a Demontrer que, pour tout entier k $≥\geq$ 2, on a :
$1k2\dfrac{1}{k^2}$ $≤\leq$ $1k+1\dfrac{1}{k+1}$ - $1k\dfrac{1}{k}$
Pour cela j'ai calculé $1k2\dfrac{1}{k^2}$ - $1k+1\dfrac{1}{k+1}$ + $1k\dfrac{1}{k}$ , j'obtiens $−1(k−1)k\dfrac{-1}{(k-1)k}$ . J'en conclus que $1k2\dfrac{1}{k^2}$ - $1k+1\dfrac{1}{k+1}$ + $1k\dfrac{1}{k}$ negatif donc on a bien $1k2\dfrac{1}{k^2}$ $≤\leq$ $1k+1\dfrac{1}{k+1}$ - $1k\dfrac{1}{k}$

2.b En déduire que ( $u_{n}$ ) est majorée par 2.
C'est ici que j'ai du mal, je ne suis pas sure que ce soit très rigoureux. J'utilise la formule précédente en ajoutant la somme des termes donc $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1k2\dfrac{1}{k^2}$ $≤\leq$ $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1k+1\dfrac{1}{k+1}$ - $1k\dfrac{1}{k}$ . Je cherche a montrer que $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1k+1\dfrac{1}{k+1}$ - $1k\dfrac{1}{k}$ est inférieur a 2. J'obtiens (1 - $12\dfrac{1}{2}$ )+( $12\dfrac{1}{2}$ - $13\dfrac{1}{3}$ )+ ( $13\dfrac{1}{3}$ - $14\dfrac{1}{4}$ )+...+ ( $1n−1\dfrac{1}{n-1}$ - $1n\dfrac{1}{n}$ ) ce qui est égal à 1 + $1n\dfrac{1}{n}$ . Je soustrais 2 a ce resulat et j'obtiens un resultat negatif. donc $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1k2\dfrac{1}{k^2}$ $≤\leq$ $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1k+1\dfrac{1}{k+1}$ - $1k\dfrac{1}{k}$ $≤\leq$ 2 $\implies$ $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1k2\dfrac{1}{k^2}$ $≤\leq$ 2. La suite est donc majorée.

Dans cette question, on suppose que $α\alpha$ $≥\geq$ 3. Demontrer que ( $u_{n}$ ) converge.
La je suis completement bloquée.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Bonjour Jade-Eugene,

L'écriture $1k2≤1k+1−1k\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k}$ est-elle correcte ?
Ne doit-on pas mettre $k - 1$ à la place de $k + 1$ ?

Pour la question 2.b. en prenant $k - 1$ , et le fait que la relation démontrée en 2.a. n'est vrai que pour $\geq 2$ . Il faut donc ajouter 1 pour le cas $k = 1$ . La somme devient $\dfrac{1}{2}) +( .....)$

Ah oui pardon c'est bien k−1 à la place de k+1. Donc on obtient $1n\dfrac{1}{n}$ sauf que n est positif donc le resultat est positif. Ca ne marche pas. Pouvez vous me donner une piste de reflexion s'il vous plait

@Jade-Eugene

Applique la même démarche, tu dois arriver pour la somme des termes à $\dfrac{1}{n}$

@Noemi Merci, J'avais changé le signe + en un signe - . J'obtiens donc 2- $1n\dfrac{1}{n}$ , auquel je soustrais 2 (le majorant) et le resultat est negatif car n est postif donc 2 est bien un majorant de la suite

@Noemi Pour la 3ème question je suppose qu'il faut utiliser la définition d'une suite convergent mais comment suis-je censée trouver $ε\varepsilon$ ?

@Noemi j'ai aussi réfléchi a utiliser la relation du 2a pour essayer de montrer que 2 est le majorant pour tout $α\alpha$ $≥\geq$ 2, mais je n'y arrive pas

@Noemi Ah si pardon je pense avoir trouvé. $∀\forall$ $α\alpha$ $≥\geq$ 2
$1k2\dfrac{1}{k^2}$ $>\gt$ $1kα\dfrac{1}{k^\alpha}$ donc avec l'égalité du 2a on admet que deux est le majorant pour toutes les suites avec $α\alpha$ plus grand que 2 et comme elle sont croissantes elles convergent?

@Jade-Eugene

C'est correct.

@Noemi Merci pour votre aide!