Dm fonction prise initiative

Bonjour j’ai un Dm dont un exercice porte sur la prise d’initiative sur les fonctions
Cependant j’ai du mal donc si qlqn peut m’aider svp

on appelle racine d´un polynome P une solution de l´equation P(x)=0
a] proposer un polynome du second degré qui n’a pas de racine reelle.
Cela se traduit donc par le fait que le delta du polynome soit inferieur a 0 ainsi 2x^2+x+8=0 => delta= 1-4x2x8= -63 <0
b] pourquoi un polynome du 3e degre a-t-il tjrs au moins une racine reelle?
c] a quelle condition portant sur le degré d’un polynome peut on etre sur que celui ci a au moins une racine relle sans effectuer de calcul ? Justifier
Soit f une fonction continue de [0;1] a valeurs dans [0;1].
Montrer que f admet au moins un point fixe (c’est a dire l’equation f(x)=x a au moins une solution)
que peut on dire d’une fonction continue sur R qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs?

Voila j’ai vraiment du mal a repondre aux questions 1b) 1c) 2) et 3)

@shana67 , bonjour,

Quelques pistes possibles (seulement des pistes, car il faut que tu prennes des initiatives)

1)a) Ta réponse est bonne

1)b) Un polynôme du 3ème degré s'écrit $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a≠0a\ne0$

la fonction p est continue sur R et a pour image R
en détaillant :
si a >0, p(x) varie de $−∞-\infty$ a $+∞+\infty$
si a < 0, p(x) varie de $+∞+\infty$ a $−∞-\infty$
Le polynôme prend donc forcement une valeur négative et une valeur positive et tu peux appliquer le TVI pour prouver qu'il existe une valeur de x telle que p(x)=0

1)c) Pense à la parité du degré du polynôme
Vois le cas où le degré est pair et la cas où le degré est impair.
Dans un des deux cas, avec le TVI, on peut prouver sans calcul qu'il existe une valeur de x telle que p(x)=0

L'idée est d'utiliser la fonction g définie par g(x)=f(x)-x
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle

$R=]−∞,+∞[R=]-\infty,+\infty[$ C'est un intervalle.
Son image par f est donc un intervalle I
Une fonction f définie sur R permet d'associer à tout nombre x de R un nombre unique y, donc I n'est pas vide.

Analyse la nature de (possible ou impossible) de I , en fonction de ton énoncé (un nombre fini de valeurs).
I intervalle "trivial" (une seule valeur) I= [a,a]={a}
I intervalle "non trivial" du type I=]a,b[ ou I=[a,b] avec $a≠ba\ne b$

Bonjour,

Proposition pour la question 2 :

Pour tout x de [0;1], posons g(x) = f(x)−x.

g est continue sur [0;1] puisque f l’est.

On a aussi : g(0) = f(0)−0 >= 0 et g(1) = f(1)−1 <= 0.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, g s’annule au moins une fois sur [0;1] et donc l’équation f(x) = x admet au moins une solution dans [0;1]

@shana67 , bonjour,

Tu a eu des pistes pour chacune de tes questions mais tu peux reposter si tu as besoin d'indications complémentaires.

@mtschoon
Merci beaucoup de m´avoir eclairé et d’avoir pris le temps de tout rediger
Nous avons repris le sujet en classe ćest donc pour cela que je n’ai pas reposté
Bonne soiree

De rien @shana67 .
Les questions posées étaient intéressantes. Les pistes étaient données, mais elles étaient à "creuser".
Si cela a été fait en classe et si tu as bien compris, c'est parfait !

Bon travail.