EXERCICE DE MATHS NIVEAU SECONDE

Bonjour,
Voici l'exercice.
On note $A(x)=15x^2-22x-5$ pour tout nombre réel $x$ .
1)Démontrer que $A(x)=15(x−1115)2−19615A(x)=15(x-\dfrac{11}{15})^2-\dfrac{196}{15}$ .
2)Utiliser la forme la plus adaptée de $A (x)$ pour résoudre dans $R\mathbb{R}$ chaque équation.
a) $A (x) = - 5$
b) $A (x) = 0$
c) $A(x)=15x^2$
d) $A(x)=−19615A(x)=-\dfrac{196}{15}$

Merci pour votre aide.

Expressions mathématiques modifiées en écriture Latex par la modération.

Bonjour Nãssërãã-Nhca,

Pour la question 1, soit tu factorises à partir de la première expression, soit tu développes l'expression.
Par factorisation :
$15(x^2-\dfrac{22}{15}x-\dfrac{5}{15})$ puis tu utilises le fait que :
$x2−2215xx^2-\dfrac{22}{15}x$ est le début du développement de $(x−1115)2(x-\dfrac{11}{15})^2$

Par développement :
Utilise l'identité remarquable $a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ pour développer $(x−1115)2(x-\dfrac{11}{15})^2$

Bonjour,
je développe laquelle?

@Nãssërãã-Nhca

Je viens de rajouter des éléments dans ma première réponse.

@Noemi

J'ai fais par développement donc j'ai trouvé x²-2*x11sur15+(11sur15)²

@Nãssërãã-Nhca

Remplace ce développement dans l'expression de $A (x)$
soit
$15(x^2-\dfrac{22}{15}x + \dfrac{11^2}{15^2})- \dfrac{196}{15}$
développe et simplifie l'expression de $A (x)$ .

@Noemi

Je viens de faire le calcul et je trouve pas A(x).

@Noemi

Je comprends vraiment rien

@Nãssërãã-Nhca

Indique tes calculs.

@Noemi
J'ai trouvé 15x²-22x+15*(11sur15)²-196sur15

@Nãssërãã-Nhca

Oui

$15(x^2-\dfrac{22}{15}x + \dfrac{11^2}{15^2})- \dfrac{196}{15}$

$15x^2-22x + \dfrac{121}{15}- \dfrac{196}{15}$

Il te reste à simplifier les deux derniers termes.

@Noemi
Ahhhh j'avais bon oupss.
Ca fait 15x²-22x-75sur15

@Noemi
Mais ca répond pas à la question aussi, ce qu'on vient de faire...

@Nãssërãã-Nhca

C'est correct.
Il reste à simplifier $7515=5\dfrac{75}{15} = 5$
et tu retrouves l'expression de $A (x)$ donnée en début d'énoncé.

@Noemi
Pas besoin de simplifier je mets 5 directement.
Ahhh oui effectivement

@Nãssërãã-Nhca

Pour la question 2, cherche la forme la plus simple pour faire la résolution de l'équation demandée avec le moins de calculs possibles.

@Noemi
Mais pour la question 2, je dois chercher la valeur de x c'est ca?

@Nãssërãã-Nhca

Oui, tu cherches la (ou les) valeurs de $x$ qui est (ou sont) la (les) solution (s) de l'équation proposée.

Exemple pour la première équation $A (x) = - 5$ , On remarque que le -5 apparait dans la première relation : $A(x) = 15x^2-22x-5$ .
Donc c'est cette expression qu'il faut utiliser et qui conduit à résoudre l'équation :
$15x^2-22x=0$
Equation à résoudre par factorisation :
$15x^2-22x=x(.......)$

@Noemi

Je n'arrive pas à faire les factorisations...

$15x2−22x=15x×x−22x=x(15x−22)15x^2 - 22x = 15x\times x-22x = x(15x-22)$
Puis tu résous $x (15 x - 22) = 0$ .
sachant qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc à résoudre :
$x = 0$ et $15 x - 22 = 0$ .

@Noemi
j'ai trouvé que x=22sur 15

@Noemi
pour le c), j'ai trouvé x=5sur22

Oui,
deux solutions pour a) $x = 0$ et $\dfrac{22}{15}$ .

Pour le c), une erreur de signe : il faut résoudre $- 22 x - 5 = 0$ , soit $-\dfrac{5}{22}$ .

Pour le b) équation $A (x) = 0$ , il faut factoriser la deuxième expression en utilisant l'identité remarquable $a-b)^2 = (a-b)(a+b)$
Ecrire dans un premier temps
$[(x-\dfrac{11}{15})^2 - (\dfrac{14}{15})^2]$
puis factoriser.

@Noemi
Ah oui pardon.
Mais il sort d'où le 11 et le 14???

@Nãssërãã-Nhca
Et evitez les factorisations s'il vous plaît

La deuxième relation est : $15(x-\dfrac{11}{15})^2-\dfrac{196}{15}.$

Le dernier terme est $19615\dfrac{196}{15}$ et $196 = 14^2$
Si on mets 15 en facteur $19615\dfrac{196}{15}$ est égal à $15 \times \dfrac{14^2}{15^2}$ .

Difficile d'éviter les factorisations :

$[(x-\dfrac{11}{15})^2 - (\dfrac{14}{15})^2]$

$-\dfrac{11}{15} -\dfrac{14}{15})(x-\dfrac{11}{15}+\dfrac{14}{15})$

Parenthèses à simplifier puis équation à résoudre.

@Noemi
J'ai trouvé 15(17sur15-x)²

Non,

$-\dfrac{11}{15} -\dfrac{14}{15})(x-\dfrac{11}{15}+\dfrac{14}{15})$

$-\dfrac{25}{15})(x+\dfrac{3}{15})$

Que l'on peut simplifier :
$-\dfrac{5}{3})(x+\dfrac{1}{5})$

@Noemi
11-14 ça fait pas 25 et pareil pour 11+14...

Non

-11 - 14 = -25 et -11+14 = 3

@Noemi
ahhhh ouiii j'avais pas vu les moins et après je dois simplifier mais je fais quoi avec les deux x?

$-\dfrac{5}{3})(x+\dfrac{1}{5})$

La résolution de l'équation $A (x) = 0$ conduit à résoudre :
$-\dfrac{5}{3}=0$ et $x+15=0x+\dfrac{1}{5}=0$

@Noemi
Donc c'est 5sur3 et -1sur5

@Nãssërãã-Nhca , bonsoir,

Je regarde tes conclusions car je vois que Noemi s'est déconnectée.
Elle t'a beaucoup aidé(e) !

Oui , tes conclusions sont bonnes.

Rappel :
Dans une égalité, on transpose un terme d'un membre dans l'autre en changeant son signe

$x−53=0x-\dfrac{5}{3}=0$ <=> $x=0+53x=0+\dfrac{5}{3}$ <=> $x=53x=\dfrac{5}{3}$

De même
$x+15=0x+\dfrac{1}{5}=0$ <=> $x=0−15x=0-\dfrac{1}{5}$ <=> $x=−15x=-\dfrac{1}{5}$

@Nãssërãã-Nhca ,

S'il te reste le d) à faire, je te mets sur la voie, en attendant que Noemi se connecte.

Utilise $A(x)=15(x−1115)2−19615A(x)=15(x-\dfrac{11}{15})^2-\dfrac{196}{15}$

Tu as donc à résoudre

$15(x−1115)2−19615=−1961515(x-\dfrac{11}{15})^2-\dfrac{196}{15}=-\dfrac{196}{15}$

En transposant $−19615-\dfrac{196}{15}$ dans le membre de droite et en simplifiant, il reste
$15(x−1115)2=015(x-\dfrac{11}{15})^2=0$

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu'un facteur soit nul.

15 ne vaut pas 0
Il te reste donc à résoudre
$(x−1115)2=0(x-\dfrac{11}{15})^2=0$

Vu qu'il s'agit d'un carré, tu peux transformer en

$(x−1115)(x−1115)=0(x-\dfrac{11}{15})(x-\dfrac{11}{15})=0$

Essaie de terminer.
Donne ta réponse si tu veux une vérification.

@mtschoon
Bonsoir,
Oui, Noemi m'a beaucoup aidé, elle est très gentille.
Du coup il reste x=11sur15 c'est ça?
Et non, il me reste le 15x²

@Nãssërãã-Nhca

Oui, Noemi est très gentille

Effectivement, la réponse est $\fbox{x=\dfrac{11}{15}}$ à la question d)

(on l'appelle "solution double" vu qu'on la trouve deux fois)

@mtschoon
Merci et pour le 15x² je dois retirer celui-ci donc il me reste à calculer le (x-11sur15)²-196sur15?

@Nãssërãã-Nhca

C'est dans la résolution de la question c) que tu retires $15x^2$ pas dans la résolution de la question d).

@Nãssërãã-Nhca

Dans la question d), il n'y a pas 15x²

Il y a $15(x−1115)2=015(x-\dfrac{11}{15})^2=0$

Comme déjà dit :
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu'un facteur soit nul.

Tu as donc deux cas :

$15 = 0$ ou $(x−1115)2=0(x-\dfrac{11}{15})^2=0$

$15 = 0$ est absurde.

Il reste donc $(x−1115)2=0(x-\dfrac{11}{15})^2=0$ ce qui donne $\fbox{x=\dfrac{11}{15}}$

Oui, je sais

@Nãssërãã-Nhca

Donc précise ton problème.

@Noemi

Pour le d) la réponse est x=11sur15 et pour la c) je dois retirer le 15x².

Oui, pour la question d), la réponse est $\dfrac{11}{15}$ .

Et pour la question c), tu l'as résolue au début et tu as trouvé $-\dfrac{5}{22}$ .

@Nãssërãã-Nhca

Je t'ai aidé exclusivement à la question d), les questions précédentes ayant déjà été traitées.

J'espère que cette question/réponses d) est claire pour toi.

Bon travail.