Suites arithmétiques

Bonjour à tous j'ai besoin d'aide et de compréhension pour cet exercice pouvez vous m'aider svp! Voici le sujet:
1.a) Démontrer que la somme 1+3+5+....+99 est le carré d'un naturel.
b) Calculer, en fonction de n, la somme des n premiers naturels impairs S=1+3+5+...+(2n-1).
2.a) Calculer la somme de tous les entiers naturel multiples de 3 inférieur à 1000
b) Calculer la somme de tous les entiers naturel multiples de 5 inférieur à 9999
c) Calculer la somme de tous les entiers naturels inférieurs à 2154 ayant 3 comme chiffres des unités.
Merci à ceux qui vont m'aider

@ariel ,

Piste pour commencer,

1)Un piste possible : tu écris la somme de deux façons différentes et tu ajoutes:
S=1+3+5+....+99
S=99+97+95+...+1

En ajoutant membre à membre
2S=(1+99)+(3+97) +(5+95)+...+(99+1)
2S=100+100+100+...+100

Compte combien de fois est écrit 100 et, en divisant par 2, et tu auras la réponse à ta question.

Remarque : tu peux faire aussi de façon "classique" :
Tu réfléchis au nombre n de termes de S (comme dans la première façon proposée).
S est la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1, de raison 2 et de dernier terme 99
$S=n×1+992=n×50=...S=n\times \dfrac{1+99}{2}=n\times 50=...$

Reposte si tu n'y arrives pas.

Merci beaucoup

@ariel mais comment faire peux tu m'écrire la réponse je n'y comprends rien

@As-tu trouvé le nombre de termes cherché ?
Je te l'indique :
le nombre de termes (dans la première façon ou la seconde) est 50.
Raison : entre 1 et 100, il y a 100 naturels ; une moitié est composée des naturels pairs (2,4,6,..,100) et l'autre moitié est composée des naturels impairs 1,3,5,...,99
Donc, dans la première façon :
$2S=100×502S=100\times 50$ donc $S=50×50=502S=50\times 50=50^2$
Dans la seconde façon
$S=50×50=502S=50\times 50=50^2$

Demande si tu as besoin pour les autres questions.

@mtschoon et pour la question 1b pourra tu m'expliquer pour que je puisse le traiter

Bonsoir ariel,

Pour la question b),
Tu démontres que la suite est arithmétiques et
tu appliques la relation donnant la somme de n termes
$terme2)S_n=n(\dfrac{premier\ terme + dernier\ terme}{2})$

@ariel et @Noemi , bonsoir,

@ariel ,

Le 1)b) est la généralisation du 1)a)

Comme te l'a indiqué Noemi, le nombre de termes est n.

Pour justifier cette valeur n, tu peux faire un raisonnement du même type que pour le 1)a)
Piste : entre 1 et 2n, il y a 2n naturels ; une moitié est composée des naturels pairs et l'autre moitié est composée des naturels impairs , donc .............

Tu dois trouver que la somme du 1)b) vaut $n^2$

Demande si tu n'y arrives pas.

@ariel ,

Lorsque tu auras terminé la 1, je te donne quelques indications pour la 2) (seulement des indications)
a) Soit T la somme
$T = 3 + 6 + 9 + . . . + 999$
Je te conseille de mettre 3 en facteur, car c'est plus facile pour savoir le nombre de termes
$T = 3 (1 + 2 + 3 + . . . + 333)$
Tu calcules

b )Soit U la somme
$U = 5 + 10 + . . . + 9995$
Même idée que pour a) mais cette fois, tu mets 5 en facteur et tu calcules

c) Soit V cette somme
$V = 3 + 13 + 23 + . . . + 2153$

C'est un peu plus délicat

$V=3+(3+(1×10))+(3+(2×10))+(3+(3×10))+...+(3+(215×10))V=3+\biggr(3+(1\times 10)\biggr)+\biggr(3+(2\times 10)\biggr)+\biggr(3+(3\times 10)\biggr)+...+\biggr(3+(215\times 10)\biggr)$

Bonnes réflexions.