Angle molécule méthane - centre d'un tétraèdre régulier.


  • S

    bonjour
    voici l'énoncé
    déterminer la mesure de l'angle formé par deux liaisons C-H , en degré (molécule de méthane)
    données :
    C est le centre du tétraèdre régulier EFGH
    I milieu de [EF]
    J milieu de [HG]
    ECF^=FCG^=GCH^=HCE^\widehat{ECF}=\widehat{FCG}=\widehat{GCH}=\widehat{HCE} ECF=FCG=GCH=HCE

    comment déterminer l'angle alors que je n'ai aucune mesure ?? merci !!

    (angles re-écrits en Latex par la modération)


  • N
    Modérateurs

    Bonjour sixxtinn,

    Tu dois déterminer l'angle formé par le centre d'un tétraèdre régulier et deux sommets de ce tétraèdre.

    Calcule la dimension d'une hauteur pour le triangle équilatéral de la base du tétraèdre.
    Calcule ensuite la mesure du segment reliant un sommet de la base avec le pied de la hauteur du tétraèdre.
    Calcule la hauteur du tétraèdre en fonction de l'arête puis l'angle formé par cette hauteur avec une arête.
    Tu en déduis ensuite la mesure de l'angle recherchée.


  • S

    je penseque h=a.racine de 3/2


  • N
    Modérateurs

    @sixxtinn

    Oui

    La dimension d'une hauteur pour le triangle équilatéral de la base du tétraèdre est h=a32h= a\dfrac{\sqrt3}{2}h=a23.
    Si on prend pour base le triangle FGHFGHFGH et que l'on note H1H_1H1 le pied de la hauteur du tétraèdre issu du sommet EEE
    Soit FH1FH_1FH1 la mesure du segment reliant un sommet de la base avec le pied de la hauteur du tétraèdre. Tu utilises le fait que le centre de gravité est au 2/3 de la hauteur, soit FH1=a33FH_1 = a\dfrac{\sqrt3}{3}FH1=a33.

    Calcule la hauteur du tétraèdre en fonction de l'arête (Tu peux utiliser la relation de Pythagore) puis tu calcules l'angle formé par cette hauteur avec une arête.
    Tu en déduis ensuite la mesure de l'angle recherchée.


  • S

    le pied de la hauteur correspond à C centre du tétraèdre ?


  • N
    Modérateurs

    @sixxtinn

    Non, le pied de la hauteur se situe au centre de gravité du triangle qui constitue la base du tétraèdre.
    Pour calculer la hauteur tu utilises le triangle rectangle constitué de la hauteur du tétraèdre, une arête et le segment FH1FH_1FH1.
    Donc la hauteur hhh, se calcule par h2+FH12=a2h^2 + FH_1^2 = a^2h2+FH12=a2 ou EH12+FH12=EF2EH_1^2 + FH_1^2 = EF^2EH12+FH12=EF2
    soit EH12=h2=a2−(a33)2=23a2EH_1^2 = h^2 = a^2 - (a\dfrac{\sqrt3}{3})^2 = \dfrac{2}{3}a^2EH12=h2=a2(a33)2=32a2

    Je te laisse poursuivre en utilisant la trigonométrie dans le triangle FEH1FEH_1FEH1 ; cosFEC=...cos FEC = ...cosFEC=...


  • S

    désolée, en fait je pense qu'il faut utiliser les produits scalaires car c'est dans cette leçon

    atomme.jpg

    donc il faut peut-être commencer par dire dans IJG rectangle en J (donc 90°) ...???


  • N
    Modérateurs

    @sixxtinn

    Oui, le produit scalaire est une autre solution. Tu aurais du le signaler dans le titre, j'ai cru que c'était en lien avec le cours de chimie.


  • S

    désolée !!!


  • mtschoon

    @sixxtinn et @Noemi , bonjour,

    @sixxtinn ,
    Si tu veux une version vectorielle avec le produit scalaire, je me permets une proposition, mais tout dépend de ton cours...et je ne suis pas sûre qu'elle convienne...elle est très courte, mais demande peut-être des notions que tu ne connais pas...
    Je la propose tout de même, vu sa simplicité.

    C est le centre du tétraèdre régulier , c'est à dire l'isobarycentre des points E,F,G,H

    CE→+CF→+CG→+CH→=0→\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{0}CE+CF+CG+CH=0

    En faisant le produit scalaire avec CE→\overrightarrow{CE}CE

    CE→.(CE→+CF→+CG→+CH→)=0\overrightarrow{CE}.(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{CH})=0CE.(CE+CF+CG+CH)=0

    On développe et on simplifie car on trouve trois produits scalaires égaux et on obtient :
    CE→.CE→+3CE→.CF→=0\overrightarrow{CE}.\overrightarrow{CE}+3\overrightarrow{CE}.\overrightarrow{CF}=0CE.CE+3CE.CF=0

    En appelant a la distance de C aux points E,F,G,H , et θ\thetaθ l'angle cherché, l'égalité précédente devient

    a2+3(a×a×cosθ)=0a^2+3(a\times a\times cos\theta)=0a2+3(a×a×cosθ)=0

    Après transformation, vu que a≠0a\ne 0a=0, on trouve

    cosθ=−13cos\theta=-\dfrac{1}{3}cosθ=31

    On cherche une valeur approchée de θ\thetaθ à la calculette

    Ceci n'est qu'une proposition, avec très peu de calculs... Voir si elle convient, ce qui n'est pas sûr.


  • N
    Modérateurs

    A mon avis, il faut utiliser le milieu du segment,
    donc calculer le produit scalaire FG→.FJ→\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FJ}FG.FJ.
    puis le produit scalaire EF→.EH1→\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EH_1}EF.EH1.


  • S

    et oui la 1ére méthode me parait compliquée car je n’ai pas vu ces notions en cours
    je pense aussi que la 2eme calculer le produit scalaire est la bonne


  • N
    Modérateurs

    @sixxtinn

    L'énoncé indique le milieu de segment, donc j'opterais pour une autre méthode.
    Calcul de FG→.FJ→\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FJ}FG.FJ qui donne pour résultat : FJ=32aFJ = \sqrt\dfrac{3}{2}aFJ=23a
    Tu en déduis la mesure de FH1FH_1FH1 avec H1H_1H1 le pied de la hauteur du tétraèdre.
    Puis tu calcules la mesure de la hauteur EH1EH_1EH1 et tu utilises le calcul du produit scalaire
    EF→.EH1→\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EH_1}EF.EH1 avec les deux relations pour en déduire la valeur du cosinus, puis de l'angle.


  • mtschoon

    @Noemi , Tout à fait d'accord, mais quelle lourdeur ! ! !

    @sixxtinn , la proposition que je t'ai faite utilise les propriétés du produit scalaire, mais elle nécessite que tu connaisses aussi la notion d'isobarycentre. Tu peux essayer de la comprendre.

    Si tu ne connais pas la définition d'isobaycentre, tant pis, tu verras cela plus tard, passe par les points I et J et démarre comme te l'indique Noemi.
    C'est beaucoup plus "lourd", mais tu n'as peut-être pas le choix...

    Quelle que soit la méthode, tu devrais aboutir à
    cosθ=−13cos\theta=-\dfrac{1}{3}cosθ=31


  • S

    merci de votre aide


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