Devoir maison de mathématiques : Aire et inéquation

Bonjour, j'ai un devoir maison de mathématiques à faire pour demain et je bloque sur deux exercices, voici le premier:
ABCD est un rectangle tel que AB = 6 et AD = 4. On note M, N, P, Q les points appartenant respectivement aux segments [AB], [BC], [CD] et [DA] tels que AM = BN = CP = DQ. Déterminer les postitions du point M pour lesquelles l'aire du quadrilatère M N P Q est au moins égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.

Faire une figure ( c'est bon)
On pose AM= x. Exprimer l'aire de M N P Q en fonction de x.
Traduire le problème par une inéquation, la résoudre et conclure.

Merci d'avance pour le temps que vous me consacrerez.

Bonjour leo04,

Question 2,
Exprime l'aire des triangles rectangles en fonction de $x$ .
Exemple l'aire du triangle rectangle MBN = $(6−x)x2\dfrac{(6-x)x}{2}$
Puis tu calcules l'aire du rectangle à laquelle tu soustrais l'aire des 4 triangles rectangles.

Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction

Bonjour,

Pour éclairer l'explication si besoin.

Bonjour,

Apparemment, @leo04 a terminé son exercice.

Quelques pistes pour consultation éventuelle,

AM=BN=CP=DQ=x
MB=DP=6-x
NC=QA=4-x

Pour que la construction soit possible, nécessairement , x doit satisfaire à la condition $x∈[0,4]\boxed{x\in [0,4]}$
En prenant la formule de l'aire d'un triangle rectangle,
$aire(AMQ)=aire(NCP)=x(6−x)2aire(AMQ)=aire(NCP)=\dfrac{x(6-x)}{2}$
$aire(MBN)=aire(DQP)=x(4−x)2aire(MBN)=aire(DQP)=\dfrac{x(4-x)}{2}$
La somme S des aires de ces 4 triangles vaut :
$S=x(6-x)+x(4-x)=-2x^2+10x$

$(ABCD)=6\times 4=24$

donc,
$aire(MNPQ)=24−(−2x2+10x)=2x2−10x+24aire(MNPQ)=24-(-2x^2+10x)=\boxed{2x^2-10x+24}$

$aire(MNPQ)≥12aire(ABCD)aire(MNPQ)\ge \dfrac{1}{2}aire(ABCD)$ équivaut à :
$2x2−10x+24≥122x^2-10x+24\ge 12$ <=> $2x2−10x+12≥02x^2-10x+12\ge 0$ que l'on peut réduire à
$x2−5x+6≥0\boxed{x^2-5x+6\ge 0}$
Inéquation du second degré à résoudre à résoudre sur R puis restreindre à [0,4]

Après calculs , $x∈[0,2]∪[3,4]\boxed{x\in [0,2] \cup [3,4]}$

Bonjour, gros problème d'ordinateur + maladie depuis, je ne l'avais pas finie et dois le rendre à la rentrée. Je m'y remets immédiatement...

Pour la question 2, je trouve que l'air de MBN+QDF = 6x-x2 et que celle de QAM+ NCP = 4x-x2 donc l'aire de MNPQ = 24 -10x -2x**2. Est-ce cela ?

Non pardon, 24 -10x + 2x**2

Je n'avais pas regarder votre message... c'est donc bon. Cependant après plusoeurs relectures je ne comprends toujours pas comment faire la question 3. Merci de votre aide

@leo04 , bonjour,

Oui, $aire(MNPQ)=2x^2-10x+24$
C'est bien ce que tu as trouvé.

Pour l'inéquation relative à la question 3), j'ai indiqué des pistes (relis ma réponse)

Je détaille un peu si besoin.

$aire(ABCD)=AB×AD=6×4=24aire(ABCD)=AB\times AD=6\times 4=24$

L'énoncé indique :
"l'aire du quadrilatère M N P Q est au moins égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD"

Cela se traduit par l'inéquation:
$2x2−10x+24≥12×242x^2-10x+24\ge\dfrac{1}{2}\times 24$ c'est à dire :
$2x2−10x+24≥122x^2-10x+24\ge 12$ c'est à dire
$2x2−10x+24−12≥02x^2-10x+24-12\ge 0$ c'est à dire
$2x2−10x+12≥02x^2-10x+12\ge 0$

En divisant chaque membre par 2 (pour simplifier les calculs), on obtient
$x2−5x+6≥0\boxed{x^2-5x+6\ge 0}$

Regarde ton cours pour résoudre une inéquation du second degré et reposte si tu n'y arrives pas.

@leo04 , je te mets les pistes pour résoudre l'inéquation.

Tu cherches d'abord les valeurs $x_1$ et $x_2$ qui annulent le polynôme $x^2-5x+6$ , c'est à dire les solutions de l'équation $x^2-5x+6=0$
Tu dois trouver (voir les formules du cours)
$Δ=1\Delta=1$
$x_1=2$
$x_2=3$
Ensuite, tu utilises le théorème relatif au signe d'un polynôme du second degré(signe de a, signe de(-a), signe de a) (voir cours) ici, a=1.

c'est parfait merci, mais je ne comprends pas la présence de 0 et 4 dans les x du tableaux.

@leo04 ,

Il faut penser aux conditions d'existence de x, liées à la construction du parallélogramme MNPQ

AM=BN=x donc nécessairement $x≥0x\ge 0$

$\in [AB]$ donc nécessairement, vu que AB=6, $x≤6x\le 6$
Mais, cela n'est pas suffisant pour terminer la construction du parallélogramme MNPQ

A partir de M, il faut placer N sur [BC] tel que BN=x
Vu que BC=4, nécessairement $\le 4$

Il n'y a pas de nouvelles contraintes pour placer P et Q

CONCLUSION : $0≤x≤4\boxed{0\le x\le 4}$

Etude de l'inéquation se fait donc sur l'intervalle [0,4]

ok merci beaucoup, a la fin les solutions sont donc [0;2]union[3;4] ?

@leo04 , c'est exact.

Tu as bien compris. C'est bien !