Équations Trigonométriques


  • TheoG

    Bonjour,
    Je rencontre actuellement des problèmes pour faire mes exercices, mon enseignante ma donné deux équation à résoudre sauf que je n'y arrive pas du tout(Son cours n'est pas terrible).
    Jai beau chercher sur Internet un cours je ne trouve rien.
    De mon côté jai essayé de faire le début des équations et ça donne sa.

    Sin(4t+π/6) =1/2
    4t+π/6=π/3
    4t=π/6-π/3
    Première équations je n'arrive pas à aller plus loins

    Cos(3t+π) =1/2
    3t+π=1/2
    3t=π-2
    Voici ce que j'ai commencé à faire pour la deuxième...

    Merci de m'aider ça me serais utile.
    Cordialement.
    Merci


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Theo-Garces,

    As-tu dans le cours une méthode de résolution des équations du type :
    sin(x)=sin(a)sin(x)= sin(a)sin(x)=sin(a) et
    cos(x)=cos(a)cos(x) = cos(a)cos(x)=cos(a) ?


  • TheoG

    @Noemi Bonjour non je n'ai rien de tout ça c'est sa mon problème 😞


  • N
    Modérateurs

    @TheoG

    Tu résous donc les équations trigonométriques à l'aide du cercle trigonométrique ?


  • TheoG

    @Noemi Oui je dois me référer à ce cercle


  • N
    Modérateurs

    @TheoG

    Pour l'équation sin(4t+π6)=12sin(4t+\dfrac{\pi}{6}) = \dfrac{1}{2}sin(4t+6π)=21

    1. Détermine à l'aide du cercle trigonométrique pour quel(s) angle(s) (en radians) le sinus est égal à 12\dfrac{1}{2}21. Tu dois trouver deux valeurs π6\dfrac{\pi}{6}6π et 5π6\dfrac{5\pi}{6}65π.
    2. Tu résous ensuite les équations 4t+π6=π6+2kπ4t+\dfrac{\pi}{6}= \dfrac{\pi}{6}+2k\pi4t+6π=6π+2kπ et 4t+π6=5π6+2kπ4t+\dfrac{\pi}{6}= \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi4t+6π=65π+2kπ.

  • TheoG

    @Noemi d'accord merci


  • TheoG

    @Noemi mais est ce que mon raisonnement du début et bien ou totalement faux ? 🧐


  • N
    Modérateurs

    @TheoG

    La deuxième équation donne 4t=2π3+2kπ4t = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi4t=32π+2kπ
    d'ou t=π6+kπ2t = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}t=6π+2kπ

    Indique tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.


  • N
    Modérateurs

    @TheoG

    Ton raisonnement est faux car tu as indiqué π3\dfrac{\pi}{3}3π au lieu de π6\dfrac{\pi}{6}6π.
    et tu n'as pas indiqué l'autre solution.

    Pour déterminer les deux solutions sur le cercle trigonométrique, tu places 12\dfrac{1}{2}21 sur l'axe des sinus et tu traces une horizontale. Elle coupe le cercle trigonométrique en deux points, tu détermines alors les valeurs correspondantes des angles.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Cercle trigonométrique pour illustrer la démarche demandée par @TheoG

    Pour la première équation, suivre les indications de @Noemi
    On place le point K (0, 1/2) sur l'axe des sinus (axe des ordonnées).
    On en déduit la place de M et N (points du cercle trigonométrique d'ordonnée 1/2)

    Une mesure de (OA→OM→)(\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OM})(OAOM) est , en radians, π6\dfrac{\pi}{6}6π (c'est à dire 30 °)
    L'ensemble des mesures de (OA→OM→)(\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OM})(OAOM) est , en radians, π6+2kπ\dfrac{\pi}{6}+2k\pi6π+2kπ , avec k∈Zk\in ZkZ

    Une mesure de (OA→ON→)(\overrightarrow{OA}\overrightarrow{ON})(OAON) est , en radians, π−π6=5π6\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}π6π=65π (c'est à dire 120 °)
    L'ensemble des mesures de (OA→ON→)(\overrightarrow{OA}\overrightarrow{ON})(OAON) est , en radians, 5π6+2kπ\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi65π+2kπ , avec k∈Zk\in ZkZ
    sinus.jpg

    On résout , comme indiqué :
    4t+π6=π6+2kπ4t+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi4t+6π=6π+2kπ
    et
    4t+π6=5π6+2kπ4t+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi4t+6π=65π+2kπ

    On obtient, comme indiqué, après calculs
    t=kπ2t=\dfrac{k\pi}{2}t=2kπ
    et
    t=π6+kπ2t=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}t=6π+2kπ


  • mtschoon

    De même, cercle trigonométrique pour illustrer la démarche demandée par @TheoG pour la seconde équation
    cosinus.jpg

    On place le point H (1/2 , 0) sur l'axe des cosinus (axe des abscisses).
    On en déduit la place de P et Q (points du cercle trigonométrique d'abscisse 1/2)

    Une mesure, en radians, de (OA→,OP)→(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OP)}(OA,OP) est π3\dfrac{\pi}{3}3π (60°)
    L'ensemble des mesure, en radians, de (OA→,OP)→(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OP)}(OA,OP) est π3+2kπ\dfrac{\pi}{3}+2k\pi3π+2kπ avec k∈Zk\in ZkZ

    Une mesure, en radians, de (OA→,OQ)→(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OQ)}(OA,OQ) est −π3-\dfrac{\pi}{3}3π (60°)
    L'ensemble des mesure, en radians, de (OA→,OQ)→(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OQ)}(OA,OQ) est −π3+2kπ-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi3π+2kπ avec k∈Zk\in ZkZ

    On résous donc :

    3t+π=π3+2kπ3t+\pi=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi3t+π=3π+2kπ
    et
    3t+π=−π3+2kπ3t+\pi=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi3t+π=3π+2kπ

    On obtient donc, après calculs, sauf erreur,

    t=−2π9+2kπ3t=-\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}t=92π+32kπ
    et
    t=−4π9+2kπ3t=-\dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}t=94π+32kπ


  • TheoG

    @mtschoon Merci beaucoup de votre aide


  • mtschoon

    @TheoG de rien !

    J'espère que c'est assez clair, mais reposte si tu as besoin.