On sait que sin(5x)=16sin^5x-20sin^3x+5sinx

[kane]

On sait que $Sin(5x)=16si{n}^{5}x-20sin³x+5sinx$
Résoudre dans IR sin(5x)=0; vérifier que π\5 et 2π\5 sont des solutions de cette équation

[Noemi]

Bonjour kane, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Pour la résolution de $sin(5x)=0$ applique le cours,
soit à résoudre
$5x=0+2k\pi$ et
$5x=\pi +2k\pi$.

[Black-Jack]

Bonjour,

Je parierais que l'énoncé n'est pas complet ... sinon, à quoi servirait l'info : "On sait que SIN5x=16SIN^5-20SIN³x+5SINx"

Le but final est probablement de trouver les valeurs "justes" de sin(Pi/5) et de sin(2Pi/5)

Si oui, il faut alors résoudre l'équation 16.SIN^5(x) - 20.SIN³(x) + 5.SIN(x) = 0 ... en trouvant toutes les valeurs de sin(x) qui satisfont l'équation.

Assez facile, en mettant sin(x) en facteur et puis en constatant que le suite est une équation bicarrée et ...

Et ensuite en réfléchissant quelles valeurs de sin(x) solutions de 16.SIN^5(x) - 20.SIN³(x) + 5.SIN(x) = 0 correspondent à sin(Pi/5) et sin(2Pi/5)

[mtschoon]

Bonjour,
Seulement une information
Cet énoncé ancien figure sur plusieurs sites...avec la formulation que j'indique :

1- En remarquant que sin 5x = sin (4x+x) démontrer que sin 5x = 16 sin^5x - 20 sin^3x + 5sin x
2- Résoudre dans R l'équation sin 5x = 0, vérifier que pi/5 et 2pi/5 sont solutions de cette équation
3-Résoudre dans R l'équation 16X^5 - 20X^3 + 5X = 0
4- En déduire des questions précédentes les valeurs de sin (pi/5) et sin(2pi/5)

[mtschoon]

Bonjour,

@kane a posé un énoncé très incomplet et ne semble pas (encore) avoir consulté les informations données...

Quelques pistes pour consultations éventuelles.

QUESTION 1)

Utilisation de la formule d'addition
$sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa$
d'où
$\boxed{sin(5x)=sin(4x+x)=sin4xcosx+sinxcos4x}$

Utilisation des formules de duplication
$sin(2a)=2sinacosa$
$cos(2a)=1-2si{n}^{2}a$
et de la formule de base $co{s}^{2}a=1-si{n}^{2}a$

$sin4xcosx=2sin2xcos2xcosx=2(2sinxcosx)(1-2si{n}^{2}x)cosx$
d'où
$sin4xcosx=4sinxco{s}^{2}x(1-2si{n}^{2}x)=4sinx(1-si{n}^{2}x)(1-2si{n}^{2}x)$

Après développement et regroupement
$\boxed{sin4xcosx=4sinx-12si{n}^{3}x+8si{n}^{5}x}$

Avec le même principe
$cos4xsinx=[1-2si{n}^2(2x)]sinx=sinx-2si{n}^2(2x)sinx$
$cos4xsinx=sinx-2(2sinxcosx{)}^{2}sinx$
$cos4xsinx=sinx-8si{n}^{2}xco{s}^{2}xsinx$
$cos4xsinx=sinx-8si{n}^{2}x(1-si{n}^{2}x)sinx$

Après développement et regroupement
$\boxed{cos4xsinx=sinx-8si{n}^{3}x+8si{n}^{5}x}$

Conclusion, en regroupant les deux expressions trouvées

$\boxed{sin(5x)=16si{n}^{5}x-20si{n}^{3}x+5sinx}$

[mtschoon]

QUESTION 2)

$\boxed{Sin(5x)=0}$

1er cas :
Pour $k\in Z$ : $5x=0+2\pi$ <=> $5x=2k\pi$ <=> $\boxed{x=\frac{2k\pi }{5}}$
Les solutions sur $[0,2\pi [$ sont
$\boxed{0,\frac{2\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\frac{6\pi }{5},\frac{8\pi }{5}}$
Points images sur le cercle trigonométrique : points A, C, E, G, I.

2ème cas :
Pour $k\in Z$ : $5x=\pi +2\pi$ <=> $\boxed{x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}}$
Les solutions sur $[0,2\pi [$ sont
$\boxed{\frac{\pi }{5},\frac{3\pi }{5},\pi ,\frac{7\pi }{5},\frac{9\pi }{5}}$
Points images sur le cercle trigonométrique : points B, D, F, H, J.

Conclusion : mis dans l'ordre croissant, les solutions sur $[0,2\pi [$ sont
$\boxed{0,\frac{\pi }{5},\frac{2\pi }{5},\frac{3\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\pi ,\frac{6\pi }{5},\frac{7\pi }{5},\frac{8\pi }{5},\frac{9\pi }{5}}$

[mtschoon]

QUESTION 3)

$16X^5+20X^2+5X=0$ <=> $X(16X^4-20X^2+5)=0$

1er cas : $X=0$

2ème cas $16X^4-20X^2+5=0$

Equation bicarrée.
Changement de variable $X^2=Y$

Equation auxiliaire : $16Y^2-20Y+5=0$

équation du second degré à résoudre.
solutions : $Y_1=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ et $Y_2=\frac{5-\sqrt{5}}{8}$

Retour à X:

$X_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}=\pm \sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}}=\pm \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$
$X_{3,4}=\pm \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}=\pm \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}=\pm \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Les solutions, mises dans l'ordre croissant, sont :

$\boxed{-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4},-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4},0,\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4},\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$

[mtschoon]

QUESTION 4
Conséquence des 3 premières questions.

En posant $X=sinx$, l'équation de la question 3) se transforme en
$16si{n}^{5}x-20si{n}^{3}x+5sinx=0$
Les valeurs de $sinx$ satisfaisant à cette première équation sont donc les 5 valeurs trouvées à la question 3)

Vu l'égalité démontrée à la question 1), les valeurs de $x$ correspondantes sont les 10 valeurs trouvées à la question 2), dont $\frac{\pi }{5}$ et $\frac{2\pi }{5}$ font partie.

En analysant les schéma du cercle trigonométrique , avec les mesures des 10 angles et les sinus (représentés en pointillés rouges), on peut tirer les conclusions :

$sin(\frac{\pi }{5})=\overline{H_{1}B}$. C'est la plus petite valeur positive des sinus-solutions , donc

$\boxed{sin(\frac{\pi }{5})=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}$

$sin(\frac{2\pi }{5})=\overline{H_{2}C}$. C'est la plus grande valeur positive des sinus-solutions, donc

$\boxed{sin(\frac{2\pi }{5})=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$

Complément non demandé dans l'exercice
On continuant l'analyse, on peut déterminer la valeur des sinus des autres angles.
.
$sin(\frac{3\pi }{5})=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$
$sin(\frac{4\pi }{5})=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$
$sin(\pi )=0$
$sin(\frac{6\pi }{5})=-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$
$sin(\frac{7\pi }{5})=-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$
$sin(\frac{8\pi }{5})=-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$
$sin(\frac{9\pi }{5})=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Bonne lecture éventuelle.