FONCTION VARIABLE modélisation

[MOUNA8]

Bonjour, si quelqu'un peut m'aider à faire ses 2 consignes

Lors d'une experience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir Têta par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,60m

On modélise la fonction par :

• f(x) = bx + ln(1-2x)

Où b est un paramètre réel tel que b>2, x est l'abscisse du projectile, f(x) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

Je n'arrive pas à faire ces 2 questions:

1. déterminer pour quelles valeurs du paramètre b la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,60m
   • J'ai pensé à faire la dérivé et posé l'inégalité tel que :

f'(x) = ( -2 +b - 2bx)/( 1-2x)

2. dans cette question on prend b=2,45

L'angle de tir tête correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe f au point d'abscisse 0.

Déterminer une valeur arrondie au dixième près de l'angle têta.

Enoncé des questions :

1. la fonction f est dérivable sur [0;1/2[ on note f' sa dérivée.
   On admet que f possède un maximum sur l'intervale [0;1/2[ et que pour tout réel x de [0;1/2[ :
   f'(x)= (-2+b-2bx)/(1-2x)
   Exprimer le maximum de la fonction f en fonction de b.

2. déterminer pour quelles valeurs du paramètre b la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,60 m. On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple {1;3} ou [2;4[ avec une précision au dixième.

3. dans cette question on prend b=2,45
   L'angle de tir téta correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0.
   Déterminer une valeur arrondie au dixième de degré près de l'angle téta.

[Noemi]

Bonjour mimims,

L'énoncé est complet ?
Résous $f^{\prime }(x)=0$ tu en déduis l'expression de $x$ en fonction de $b$.
Puis tu utilises le fait que $f(x)<1,6$ pour trouver une inéquation qui ne dépend que de la variable $b$.

Indique tes calculs si tu souhaites une correction.

[MOUNA8]

@Noemi Tout d'abord merci pour votre réponse J'ai résolu f'(x) =0

J'ai trouvé x = (2-b)/-2b

Après j'ai calculer f((2-b)/-2b)= (b-2)/-2b + ln(2/b)

Et j'ai posé (b-2)/-2b + ln2/b <1,6

Mais je suis bloqué pour résoudre cette inéquation

[Noemi]

@mimims

Tu devrais simplifier les expressions
$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{b}$

et $f(\frac{1}{2}-\frac{1}{b})=\frac{b}{2}-1+ln(\frac{2}{b})$

Etudie maintenant les variations de la fonction
$g(b)=\frac{b}{2}-1+ln(\frac{2}{b})-1,6$.

[MOUNA8]

@Noemi je trouve b=-2, je suis vraiment perdue

[Noemi]

@mimims

Tu dois étudier les variations de la fonction $g$
La dérivée : $g^{\prime }(b)=\frac{1}{2}-\frac{1}{b}$ qui s'annule pour $b=2$
l'étude du signe de la dérivée conduit à $g^{\prime }(b)>0$ si $b>2$,
donc la fonction est croissante pour $b\ge 2$
calcule $g(2)$ et cherche sur quel domaine $g(b)\le 0$

[MOUNA8]

@Noemi la dérivée de g me semble bizarre puisque on a une fonction composée et ln(u)'=u'/u alors moi je n'obtiens pas la même chose que vous mais

g'(x) = b/2+1/b alors g'(b)=0, pour b=-2

[Noemi]

@mimims

La dérivée par rapport à $b$ de $\frac{b}{2}$ est $\frac{1}{2}$.

Ensuite $ln(\frac{2}{b})=ln(2)-ln(b)$ et la dérivée est $-\frac{1}{b}$.

[MOUNA8]

D'accord j'ai compris ma faute merci bien. Mais apres je reste vraiment perdu pour repondre aux 2 questions

[Noemi]

@mimims

Calcule $g(2)$ puis tu indiques le théorème des valeurs intermédiaires puis tu résous $g(b)=0$ en utilisant ta calculatrice pour trouver une valeur approchée.

[MOUNA8]

@Noemi je trouve entre 9,75 et 9,77 c'est bien ça ?

[Noemi]

@mimims

Non,
As tu bien programmé la fonction ?
$g(b)=\frac{b}{2}-1+ln(\frac{2}{b})-1,6$.
tu dois trouver entre 7,96 et 7,97.
Vu que la précision est au dixième cela donne $[2;....[$.

[MOUNA8]

@Noemi pour b=7,96 jobtiens g(b) = - 0,361282...
Et pour b=7,97 j'obtiens g(b)=-0,357537...

[Noemi]

@mimims

Vérifie l'écriture de la fonction, des parenthèses.

[MOUNA8]

@Noemi D'accord j'ai compris et donc là c'est de [2; 7,97]

[Noemi]

@mimims

Tu dois arrondir au dixième, donc $]2;8,0[$ou $]2;8[$.

[MOUNA8]

@Noemi d'accord merci beaucoup !!

Mais pour la deuxieme question celle la je ne comprends meme pas comment trouver l'angle

[Black-Jack]

Bonjour,

L'énoncé précise : "Où b est un paramètre réel tel que b>2" l'intervalle pour b doit donc être ouvert aussi du coté de 2

Soit b compris dans ]2 ; 8,0[

[Noemi]

@mimims

Oui pour un intervalle ouvert.

Pour la dernière question, calcule la valeur de la dérivée soit $f^{\prime }(0)$ qui correspond à la pente de la droite donc à la tangente de l'angle.
Tu en déduis ensuite la valeur de l'angle.

Tu dois trouver $f^{\prime }(0)=0,45$; Il reste à résoudre $tan\alpha =0,45$.