petit exercice de maths sur les carrés parfaits

Bonjour,
J'aurai besoin de votre aide s'il vous plait.

Les nombre suivants sont-ils des carrés d'entiers:
a) $224×56×722^{24}\times 5^6\times 7^2$
b) $23×522^3\times 5^2$

2)Comment reconnaître sur sa décomposition en produit de facteurs premiers qu'un entier n strictement supérieur à 2 est le carré d'un entier?

Merci de votre aide.
bonne journée à vous.

Nombres re-écrits en Latex par la modération.

Bonjour Nãssërãã-Nhca,

L'écriture des nombres est-elle
a) $224×56×722^{24}\times 5^6\times 7^2$ ?
et
b) $23×522^3\times5^2$ ?
Il faut que l'exposant soit divisible par 2 (Ou un multiple de 2).

Bonjour,
@Nãssërãã-Nhca , tes écritures ne sont guère lisibles...
Vérifie si ce qu'on a cru lire est bien exact.

Un petit complément si besoin,

a) Tu peux transformer l'expression, vu que tous les exposants sont pairs.

$224×56×72=212×2×52×3×722^{24}\times 5^6\times 7^2=2^{12\times 2}\times 5^{2\times 3}\times 7^2$

En utilisant les propriétés des puissances :

$224×56×72=(212×53×7)22^{24}\times 5^6\times 7^2=(2^{12}\times 5^3\times 7)^2$

Le nombre proposé est donc le carré de $212×53×72^{12}\times 5^3\times 7$

b) Vu que l'exposant 3 n'est pas pair, la transformation faite au a) n'est pas possible.
Tu tires la conclusion.

Pour la 2), @Noemi t'a donné la réponse :
Tous les exposants de la décomposition du nombre en facteurs premiers doivent être pairs.

@Noemi
bonjour,
Oui c'est cela

@mtschoon

je dois calculer chaque nombre? Je sais pas comment faire

@Nãssërãã-Nhca .

Je ne pense pas que tu sois obligé de calculer les nombres.

Si tu le souhaites, à la calculette, pour le a)

$224×56×72=(212×53×7)2=358400022^{24}\times 5^6\times 7^2=(2^{12}\times 5^3\times 7)^2=3584000^2$

Le nombre proposé est donc le carré de $3584000$

Et bien sûr, ce n'est pas possible de faire cela au b) car l'exposant 3 n'est pas pair.

@mtschoon

Je comprends pas

@Nãssërãã-Nhca ,

Précise ce que tu ne comprends pas.

@mtschoon

Je dois juste trouver le résultat du calcul tout simplement? Je sais pas ce qu'il faut faire

@Nãssërãã-Nhca ,

L'énoncé te demande si les nombres qui sont donnés, c'est à dire $224×56×722^{24}\times 5^6\times 7^2$ et $23×522^3\times 5^2$ sont des carrés d'entiers.

Cela veut dire qu'il faut savoir s'ils peuvent s'écrire sous la forme $^2$

Pour cela , il faut utiliser, comme je te l'ai indiqué, utiliser les propriétés de ton cours sur les puissances.

@mtschoon
Ahhhh d'accord je comprends mieux maintenant.

@Nãssërãã-Nhca ,

C'est bien si maintenant tu as compris.

@mtschoon

D'accord, je vous remerciee.
Bonne journée à vous.

De rien et bonne journée à toi .

@mtschoon
Excusez-moi j'ai une dernière question à vous poser.

@Nãssërãã-Nhca , si c'est sur le même sujet , pose ta question ici.

Si c'est un autre exercice indépendant, ouvre une autre discussion.

@mtschoon

Oui c'est sur ce sujet.
Est-ce que pour le a) je dois décomposer 3584000 en facteurs premiers?

@Nãssërãã-Nhca ,

Tu n'as pas besoin de décomposer 3584000 en produit de facteurs premiers , car tu as déjà la décomposition.

$=2^{12}\times 5^3\times 7$

@mtschoon

D'accord et vous vous êtes trompés c'est 7 à la puissance 2.
Mercii

@Nãssërãã-Nhca , Non, il n'y a pas d'erreur ;
ce n'est pas $7^2$ comme tu dis , c'est bien $7$

Si tu préfères, au lieu de 7, tu peux mettre $7^1$

$3584000=212×53×713584000=2^{12}\times 5^3\times 7^1$

Tu peux écrire :

$224×56×72=(212×53×71)2=358700022^{24}\times 5^6\times 7^2=(2^{12}\times 5^3\times 7^1)^2=3587000^2$

@mtschoon

Mais pourquoi il y a le chiffre 7?

@Nãssërãã-Nhca ,

Je te détaille le tout

$224=22×122^{24}=2^{2\times 12}$
$56=52×35^6=5^{2\times 3}$
$72=71×27^2=7^{1\times 2}$

Donc

$224×56×72=22×12×52×3×72×12^{24}\times 5^6\times 7^2=2^{2\times 12}\times 5^{2\times 3}\times 7^{2\times 1}$

Ensuite, tu utilises les propriétés des puissances, ce qui permet de transformer en

$(212×53×71)2\biggl(2^{12}\times 5^3\times 7^1\biggl)^2$