Résolution d'équation cosinus

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre l'équation cos(2x)=cos(x) dans l'intervalle [0;π]. Merci d'avance pour vos réponses.

Bonsoir leilalo,

Tu résous : $2k\pi$ qui donne $2k\pi$ avec $k∈Zk\in \mathbb{Z}$

et $2k\pi$ qui donne $3x=2kπ3x=2k\pi$ avec $k∈Zk\in \mathbb{Z}$

puis tu prends les solutions qui appartiennent à l'intervalle $[0;π][0;\pi]$ en faisant varier $k$

Pour $2k\pi$ ; $x = 0$

Pour $3x=2kπ3x=2k\pi$ ; $\dfrac{2k\pi}{3}$ soit $x=2π3x=\dfrac{2\pi}{3}$

Je te laisse conclure.

Indique si tu as besoin de plus d'explication.

Bonne nuit

@Noemi Je n'y avais pas pensé comme ça, merci beaucoup.

@leilalo

Cela correspond il à ton cours ?

@Noemi Oui tout à fait

Bonjour !

Bien sûr , comme l'a indiqué @Noemi , l'équation proposée est de la forme $c o s a = c o s b$ et fait partie du programme de Première S donc connue en Terminale S.
Et c'est LA méthode usuelle à utiliser.

Je réfléchis à quelle autre méthode avait pensé @leilalo (mais n'avait visiblement pas abouti)

Peut être aux formules de duplication vu qu'il s'agit de $c o s (2 x)$ ?

Pour consultation éventuelle, je fais les calculs avec la transformation $cos(2x)=2cos^2x-1$

$c o s x = c o s (2 x)$ <=> $cosx=2cos^2x-1$ <=> $2cos^2x-cosx-1=0$
Soit $X = c o s x$
Equation du second degré $X^2-X-1=0$
Solution $X = 1$ et $X=−12X=-\dfrac{1}{2}$

Sur $[0,π][0,\pi]$ :
$X = 1$ <=> $c o s x = 1$ : solution $x = 0$
$X=−12X=-\dfrac{1}{2}$ <=> $cosx=−12cosx=-\dfrac{1}{2}$ : solution $x=2π3x=\dfrac{2\pi}{3}$

Bonne lecture.