Résolution d'équation cosinus


  • L

    Bonjour, je n'arrive pas à résoudre l'équation cos(2x)=cos(x) dans l'intervalle [0;π]. Merci d'avance pour vos réponses.


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir leilalo,

    Tu résous : 2x=x+2kπ2x = x + 2k\pi2x=x+2kπ qui donne x=2kπx= 2k\pix=2kπ avec k∈Zk\in \mathbb{Z}kZ

    et 2x=−x+2kπ2x=-x + 2k\pi2x=x+2kπ qui donne 3x=2kπ3x=2k\pi3x=2kπ avec k∈Zk\in \mathbb{Z}kZ

    puis tu prends les solutions qui appartiennent à l'intervalle [0;π][0;\pi][0;π] en faisant varier kkk

    Pour x=2kπx= 2k\pix=2kπ; x=0x = 0x=0

    Pour 3x=2kπ3x=2k\pi3x=2kπ ; x=2kπ3x= \dfrac{2k\pi}{3}x=32kπ soit x=2π3x=\dfrac{2\pi}{3}x=32π

    Je te laisse conclure.

    Indique si tu as besoin de plus d'explication.

    Bonne nuit


  • L

    @Noemi Je n'y avais pas pensé comme ça, merci beaucoup.


  • N
    Modérateurs

    @leilalo

    Cela correspond il à ton cours ?


  • L

    @Noemi Oui tout à fait


  • mtschoon

    Bonjour !

    Bien sûr , comme l'a indiqué @Noemi , l'équation proposée est de la forme cosa=cosbcosa=cosbcosa=cosb et fait partie du programme de Première S donc connue en Terminale S.
    Et c'est LA méthode usuelle à utiliser.

    Je réfléchis à quelle autre méthode avait pensé @leilalo (mais n'avait visiblement pas abouti)

    Peut être aux formules de duplication vu qu'il s'agit de cos(2x)cos(2x)cos(2x) ?

    Pour consultation éventuelle, je fais les calculs avec la transformation cos(2x)=2cos2x−1cos(2x)=2cos^2x-1cos(2x)=2cos2x1

    cosx=cos(2x)cosx=cos(2x)cosx=cos(2x) <=> cosx=2cos2x−1cosx=2cos^2x-1cosx=2cos2x1 <=> 2cos2x−cosx−1=02cos^2x-cosx-1=02cos2xcosx1=0
    Soit X=cosxX=cosxX=cosx
    Equation du second degré X2−X−1=0X^2-X-1=0X2X1=0
    Solution X=1X=1X=1 et X=−12X=-\dfrac{1}{2}X=21

    Sur [0,π][0,\pi][0,π] :
    X=1X=1X=1 <=>cosx=1cosx=1cosx=1 : solution x=0x=0x=0
    X=−12X=-\dfrac{1}{2}X=21 <=> cosx=−12cosx=-\dfrac{1}{2}cosx=21 : solution x=2π3x=\dfrac{2\pi}{3}x=32π

    Bonne lecture.


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