Salut, J'ai besoin d'aide pour une petite question dans l'arithmétique dans Z:

Déterminer les entiers naturels n tels que PGCD((n-3),14)=7
Et même question pour PGCD((n-3),14)=1

Je suis bloquée, je ne sais pas exactement comment déterminer tous les entiers qui vérifient la condition.

Merci d'avance !!

Bonsoir Merys,

Comme 14 = 2 x 7, il faut que $n - 3$ soit un multiple de 7 mais non divisible par 2
donc n-3 = .....

Bonsoir @Noemi Merci de votre aide, mais je ne sais toujours pas n-3=?? Il ya une infinité de possibilités non?

@Merys

Oui une infinité
$n - 3$ multiple de 7 donc $n - 3 = 7 k$ avec $\in \mathbb{N}$ .
mais $n - 3$ ne doit pas être pair donc $k$ impair soit $k = 2 k^{'} + 1$
donc $n - 3 = 7 (2 k^{'} + 1)$ avec $\in \mathbb{N}$
Donc $n = . . . . .$

Pour le deuxième cas il faut que $n - 3$ et 14 soit premier entre eux.

Alors pour le premier cas:

On a PGCD (n-3,14)=7 Et 14=7×2 donc n-3=7k (k dans N) avec k impaire car n-3 ne doit pas être divisible par 2,par suite k=2k'+1 d'où les entiers naturels n tels que PGCD (n-3,14)=7 sont n=14k'+10 avec k' appartenant à N.

Et pour le deuxième cas:
Et pour que n-3 et 14 soient premiers entre eux il faux que n-3 soit congrue à 1 modulo 14 ce qui entraîne que n=14k+4. Cela est juste?

@Merys

Si $n - 3$ et 14 sont congrues à 0 modulo 14 les deux nombres ne sont pas premiers donc il faut que $\neq 14k + 3$ .

@Noemi mais si n-3 est congrue à 0 modulo 14 alors cela veut dire que 14 divisé n-3 ce qui est faut car le PGCD=1

@Merys

Oui Il faut que ce ne soit pas congrue à 0. Tu peux écrire les autres cas.

On a le reste appartient à {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} je traite alors tous ces cas un par un?

@Merys

Tu peux en éliminant les nombres pairs et les multiples de 7 ou tu les résumes en écrivant :
$n - 3 = a + 14 k$ avec $a∈{1,3,5,9,11,13}a\in \lbrace 1, 3, 5, 9, 11, 13 \rbrace$
soit $n = . . . . .$

D'accord alors pour le deuxième cas:

14 ne doit pas diviser n-3 alors le reste de la division euclidienne de n-3 par quatorze doit appartenir à {1,3....,13} Par suite, n= 14k+r-3 (avec k dans Z et r dans l'ensemble {1,3,5,9,11,13}.

C'est compris!! merci infiniment @Noemi!! Bonne soirée.

@Merys

Bonne soirée