Math dm sur nombres complexes

Hello, je suis nouveau sur le forum. Est ce que vous pouvez m'aider si vous plaît ^^
c'est pour le vendredi 3 mars 2020.

Mon dm est à rendre pour vendredi, c'est la première fois que notre prof nous fait un dm de math.
Il est plus compliquer que ses ds et interros . Qui peut m'aider car j'ai à peine réussi 3 question.

exercice 1:
Partie A
Soit z un nombre complexe tel que z= x+iy oû x et y sont deux nombres réels. On note z barre le nombre complexe défini par z barre = x-iy

Démontrer que, pour tous nombres complexe z et z', z barre * z barre ' = z barre * z barre '
Démontrer que par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul et pour tout nombre complexe z, z barre puissance n = z barre puissance n .

Partie B
on considère l'équation (E): z puissance 4 = -4 d'inconnue z appartient à C .

Montrer que si le nombre complexe z est solution de l'équation (E), alors les nombres complexes -z et z barre sont aussi solutions de l'équation (E).
Vérifier que le nombre complexe Z0= 1+1 est solution de l'équation (E).
Déduire des questions précédents trois autres solutions de l'équation (E).

Bonjour Florent-Lassalle,

Pour obtenir de l'aide, il est indispensable d'écrire le sujet. Les liens ou scans sont interdit sur ce forum.
Propose un exercice par sujet et indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

@Florent-Lassalle , bonjour,

Les scans ne sont pas autorisés ici, sauf pour graphiques et tableaux numériques.
Le scan sera effacé.
Merci d'écrire ton énoncé "à la main", si tu as besoin d'aide.

@Noemi désole du coup, je fais comment pour vous montrer car il y a 3 exercices et je comprends pas.

@Florent-Lassalle ,

Tu dois ouvrir 3 discussions, une par exercice.

@mtschoon c'est bon ^^

@Florent-Lassalle

Non,
Tu dois écrire l'énoncé.

@Noemi C'est bon, je l'ai réécrit à la main ^^

@Florent-Lassalle

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Pour la question 1. il suffit de faire les calculs.

@Noemi Je comprends aucune question, c'est ça le soucis même avec le cours à côté de moi.

@Florent-Lassalle , c'est fois, c'est bon , vu que tu as recopié l'énoncé,

Je t'indique une piste pour démarrer la question 1), si besoin

$z = x + i y$
$z^{'} = x^{'} + i y^{'}$

$z×z′=(x+iy)(x′+iy′)z\times z'=(x+iy)(x'+iy')$

Tu développes et tu dois trouver, sauf erreur
$z×z′=xx′−yy′+i(xy′+yx′)z\times z'=xx'-yy'+i(xy'+yx')$

donc, en prenant le conjugué :

$z×z′‾=xx′−yy′−i(xy′+yx′)\overline{z\times z'}=xx'-yy'-i(xy'+yx')$

Ensuite,

$z‾×z‾′=(x−iy)(x′−iy′)\overline z\times \overline z'=(x-iy)(x'-iy')$

Tu développes et tu dois trouver la même expression que pour $z×z′‾\overline{z\times z'}$

Essaie de poursuivre et tiens nous au courant si tu bloques.

Re Bonjour,

J'espère que tu es arrivé à faire les calculs demandés à la première question de la partie A

Je te démarre la seconde question de la partie A

Tu connais je suppose le principe du raisonnement par récurrence.

Initialisation pour n=1

Tu dois prouver que $(z1)‾=(zˉ)1\overline{(z^1)}=(\bar z)^1$

Soit $z = x + i y$
$z^1=z=x+iy$
$z1‾=x−iy\overline{z^1}=x-iy$

$zˉ=x−iy\bar z=x-iy$
$(zˉ)1=zˉ=x−iy(\bar z)^1=\bar z=x-iy$

Tu tires la conclusion

Hérédité

Tu supposes que pour n ( $n≥1n\ge 1$ ) on a $(zn)‾=(zˉ)n\overline{(z^n)}=(\bar z)^n$

Avec cette hypothèse, tu dois démontrer que :
$(zn+1)‾=(zˉ)n+1\overline{(z^{n+1})}=(\bar z)^{n+1}$

Pour faire cette démonstration, tu utilises la propriété démontrée à la question 1)

Essaie, et tiens nous au courant si tu n'y arrives pas ou si tu veux une vérification.