Probabilité problème terminale

Bonjour, j'ai une question sur cet exercice :

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de 5€ d'achats.
Par exemple, si le montant des achats est 67,09€, alors le client obtient 13 cartes ; si le montant est 133,82€ le client obtient 26 cartes.
Les cartes gagnantes représentent 0,4 % de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

À partir de quel montant d'achats, arrondi à 5€, la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 30% ?

@mimims , re-bonjour,

Piste à creuser,

Soit n le nombre de cartes dont le client a droit pour son achat.
On a n épreuves répétées indépendantes.
La probabilité d'avoir une carte gagnante (succès) est p=0.004
La probabilité d'avoir une carte perdante (échec) est 1-p=0.996

Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de cartes gagnantes

X suit la loi binomiale B(n , 0.004)

$P (X = k)$ = $(nk){n}\choose{k}$ $p^k (1-p)^{n-k}$

$P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)nP(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$

Tu dois donc trouver n tel que : $1−(1−p)n≥0.31-(1-p)^n \ge 0.3$

ce qui doit donner : $1−0.996n≥0.31-0.996^n\ge 0.3$

Tu dois résoudre cette inéquation en passant par les logarithmes.
Lorsque tu auras n , tu pourras en déduire de prix de l'achat.

@mimims , reposte pour vérifier tes réponses ou demander des compléments , si tu as besoin.

@mtschoon merci beaucoup pour votre aide !

De rien @mimims ,
J'espère que tu as abouti.

A toute fin utile, je t'indique ce que tu dois trouver :

Sauf erreur :

$n≥ln(0.7)ln(0.996)n\ge \dfrac{ln(0.7)}{ln(0.996)}$

Vu que $n∈Nn\in N$ , tu dois conclure $\ge 89$

Conséquence : le prix de l'achat est d'au moins 445 €

Reposte si tu ne trouves pas ça.