proba calcul moyenne

Bonjour, pouvez-vous m'aider

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale d'écart type σ=5 telle que P(X≤100)=0,05.
Calculer l'espérance de X arrondi à 10^{-4}
.

@mimims , bonjour,

Pistes,

Utilisation de la loi normale réduite centrée

$Z=X−μσ=X−μ5Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-\mu}{5}$

On sait que $P(X≤100)≤0.05P(X\le 100)\le 0.05$

D'où

$P(X−μ5≤100−μ5)=0.05P(\dfrac{X-\mu}{5}\le \dfrac{100-\mu}{5})=0.05$

$P(Z≤100−μ5)=0.05P(Z\le \dfrac{100-\mu}{5})=0.05$

Soit $t=100−μ5t=\dfrac{100-\mu}{5}$

$P(Z≤t)=0.05P(Z\le t)=0.05$

Pour trouver t avec la table de la loi normale centrée, il faut transformer car la valeur 0.05 n'y est pas.

Propriété utile : $\le -t)=1-P(Z\le t)$

donc $P(Z≤−t)=0.95P(Z\le -t)=0.95$

Avec la table : $−t≈1.65-t\approx 1.65$
(il faudrait faire une interpolation linéaire pour avoir plus de précision)

D'où $μ−1005≈1.65\dfrac{\mu-100}{5}\approx 1.65$

Au final : $μ≈108,25\mu\approx 108,25$

Je t'ai mis le principe, mais il faut "approcher plus" (par interpolation linéaire avec les valeurs données par la table) pour avoir la précision demandée par l'énoncé.

REMARQUE :
Au lieu d'utiliser la table (de la loi normale réduite centrée), certaines calculatrices peuvent faire le travail.

Ce n'est pas le cas de la mienne qui est très ancienne...

Je te mets un lien pour le cas où ta calculatrice saurait le faire (mais de toute façon, il faut passer par la loi normale réduite centrée).

Dans la vidéo, la calculatrice utilisée est la TI 84 Plus CE
https://www.youtube.com/watch?v=Ikylc5NO4mk

@mtschoon merci beaucoup pour votre aide !

@mimims ,

De rien ! tu vas finir par très bien connaître la loi normale !