DM Probabilité de densité

Bonjour,
J'ai un devoir maison à faire pour aujourd'hui, pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance.

Partie A
Tous les matins, Léa prend le métro à la station « Porte d’Italie ».
On note T La variable aléatoire égale à son temps d’attente en minutes. T suit la loi uniforme sur [0 ; 5].

Quelle est la probabilité que Léa attende exactement une minute ?
Calculer la probabilité que Léa attende au plus trois minutes.
Après une minute d’attente, Léa reçoit un appel qui dure 40 secondes. Calculer la probabilité que le métro ne
soit toujours pas arrivé à la fin de cet appel.

Partie B
On considère la fonction f définie sur [0 ;π/2] par f (x) = cos(x).

Prouver que f est une densité de probabilité sur [0 ;π/2]
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité a pour densité la fonction f.
a. Calculer P(X < π/4) et P(X > π/6)
b. Calculer P(X≥π/6) (X < π/3)
(le "P(X≥π/6)" est en indice)

Mes questions:
Partie A, q° 1) : je sais jamais quelle formule utiliser, mais il me semble qu'il faudrait faire P(X=1), pour ça on utilise la formule de l'exponentielle? soit f(x)= lambda * e^-lambda?

@Marie_l , bonjour,

Ta proposition pour la A 1) est très bizarre.
L'énoncé te parle de loi uniforme, il ne faut donc pas utiliser la loi exponentielle.

Commence par regarder ton cours.

Si besoin, je t'en mets un ici :
http://www.jybaudot.fr/Probas/propruniforme.html

Pour cette partie, la fonction de densité est
$f(t)=15−0=0.2f(t)=\dfrac{1}{5-0}=0.2$ sur $[0, 5]$ et $0$ ailleurs

Pistes,
Pour la 1)
$P(T=1)=∫11f(t)dt=...P(T=1)=\int_1^1f(t)dt=...$

Pour la 2)
$P(T≤3)=∫03f(t)dt=...P(T\le 3)=\int_0^3f(t)dt=...$

Pour la 3), il faudra convertir 40 secondes en minute, ajouter à 1 minute pour pouvoir répondre.

Tiens nous au courant de ton avancé (lorsque tu auras vu le cours)

Ok merci, j'ai trouvé pour les deux première questions pour la dernière j'ai convertit mais il faut que je fasse P(X > 1,6?)

@Marie_l ,,

Pour la 3), ton idée est bonne. mais 40 secondes = $23\dfrac{2}{3}$ minute.

Alors conserve la valeur exacte (car 0.6 n'est qu'une valeur approchée)

$1+23=531+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$

Tu dois donc calculer

$P(T>53)=1−P(T≤53)=.......P(T\gt \dfrac{5}{3}) =1-P(T\le \dfrac{5}{3})=.......$

Ok merci, j'ai trouvé 2/3!

Pour la question 2)b) de la partie B, j'ai appliqué la formule mais je bloque après...

@Marie_l ,

Si tu parles de la réponse de la 3) partie A), c'est bien 2/3 la réponse.

J'espère que tu n'as pas eu de difficulté pour la 1) et la 2)a) de la partie B.

Pour la question 2)b) de la partie B, il s'agit d'une probabilité conditionnelle.

Tu sais que pour deux évènements A et B
$PB(A)=P(A∩B)P(B)P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Donc ici :
$PX≥π6(X<π3)=P(π6≤X<π3)P(X≥π6)P_{X\ge \dfrac{\pi}{6}}(X\lt \dfrac{\pi}{3})=\dfrac{P(\dfrac{\pi}{6}\le X\lt \dfrac{\pi}{3})}{P(X\ge\dfrac{\pi}{6})}$

$P(π6≤X<π3)=∫π6π3cosxdx\displaystyle P(\dfrac{\pi}{6}\le X\lt \dfrac{\pi}{3})=\int_\dfrac{\pi}{6}^\dfrac{\pi}{3}cosxdx$

$P(X≥π6)=1−P(X<π6)=1−∫0π6cosxdx\displaystyle P(X\ge \dfrac{\pi}{6})=1-P(X\lt \dfrac{\pi}{6})=1-\int_0^\dfrac{\pi}{6}cosxdx$

Il te reste à faire les calculs de façon usuelle.

Bons calculs (reposte si besoin)