Suites et raisonnement par récurrence

Bonjour, est-ce que vous pouvez m'aider à résoudre ces exercices s'il vous plaît?
1/ démontrer par récurrence que pour tout naturel n non nul: n! >= 2^(n-1)
2/ La suite (un) est la suite définie par u0 appartient à ]0;1[ eu un+1= un*(2-un)
Démontrer par récurrence que pour tout n on a 0<un<1
3/ soit la suite (un) définie pour tout n par u0= 1 , u1=2 et u(n+2)= 5u(n+1)-6un
démontrer par récurrence que un=2^n
4/ soit fn(x)=x^n
démontrer par récurrence que fn est dérivable et que pour tout réel x : f'n(x)=nx^(n-1)
Voilà.. ce sont des exercices indépendants, donc désolé si ça fait beaucoup,
merci beaucoup d'avance

@mathematiques123 , bonjonr,

Si tu ne maîtrises pas le raisonnement par récurrence, tu peux commencer par voir cela :
https://www.mathforu.com/terminale-s/le-raisonnement-par-recurrence/

Piste pour la 1)
Initialisation pour n=1
$1! = 1$ et $2^{1-1}=2^0=1$
Tu peux déduire facilement que la propriété est vraie pour n=1

Transmission

Hypothèse à un ordre n de N* : $n!≥2n−1n!\ge 2^{n-1}$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) : $(n+1)!≥2n(n+1)!\ge 2^n$

Piste de la démonstration :
Par hypothèse de la récurrence : $n!≥2n−1n!\ge 2^{n-1}$
En multipliant chaque membre par (n+1) :
$n!(n+1)≥2n−1(n+1)n!(n+1)\ge 2^{n-1}(n+1)$

Or, $(n!) (n + 1) = (n + 1))!$
Vu que $\ge 1$ , $n+1≥2n+1\ge 2$ donc $2n−1(n+1)≥2n−1(2)2^{n-1}(n+1)\ge 2^{n-1}(2)$
d'où : $2n−1(n+1)≥2n2^{n-1}(n+1)\ge 2^{n}$

Essaie de déduire la conclusion.

@mathematiques123 ,

J'espère que tu as terminé sans difficulté la récurrence 1)

Je regarde la récurrence 2)
Pour l'initialisation, il n'y a rien à faire vu que $U0∈]0,1[U_0\in ]0,1[$ , donc forcément $0<U0<10\lt U_0\lt 1$

Pour la transmission, je te conseille de passer par l'étude de la fonction f définie par $f (x) = x (2 - x)$ pour $x∈]0,1[x\in ]0,1[$
( car si tu raisonnes avec les encadrements, tu obtiens un intervalle final plus grand que celui demandé)

Reposte si tu as besoin d'aide.
Bons calculs !

Je regarde la récurrence 3.

IL s'agit d'une récurrence double.
Voici un lien (explication et un exemple) :
https://major-bac.com/mathematiques/recurrence-double-et-recurrence-forte/

Pour l'initialisation, il faut vérifier que la propriété à démontrer est vraie pour n=0 et n=1.

Pour la transmission, il fat supposer que la propriété à démontrer est vraie à l'ordre n et à l'ordre (n+1), c'est à dire que :

$U_n=2^n$ et $U_{n+1}=2^{n+1}$

Avec cette hypothèse, il faut démontrer que la propriété est vraie à l'ordre (n+2) c'est à dire que :

$U_{n+2}=2^{n+2}$

Le calcul pour la démonstration est assez simple :
$Un+2=5(2n+1)−6(2n)=5×2×2n−6×2n=4(2n)U_{n+2}=5(2^{n+1})-6(2^n)=5\times 2\times 2^n-6\times 2^n=4(2^n)$
d'où
$U_{n+2}=2^2(2^n)=....$ (à terminer et conclure)

Pour la récurrence 4, tu ne précises pas à quel ensemble appartient n (N, N* ?)
Il faudrait le savoir pour l'initialisation.
Pour la transmission, l'utilisation de la dérivée d'un produit fonctionne très bien.

Remarque :
Evidemment, ces questions sont relatives à un même thème : la récurrence.
Mais, vu que les 4 questions sont indépendantes, @mathematiques123 , tu aurais dû ouvrir 4 discussions (une pour chaque récurrence).
Tu aurais eu des explications plus précises et plus rapides.
Penses-y une autre fois.

D'accord, merci beaucoup. Je comprends mieux grâce à vous

@mathematiques123 ,

De rien et bon courage dans ton travail.