SOS Equa differentielle !!

[WVTHS]

Je ne sais pas comment faire...
Voici l'énoncé :

Soient a et b deux nombres réels et n un entier naturel différent de 1.
On considère l'équation différentielle suivante :
(E) : ${\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{a}\mathbf{y}+\mathbf{b}{\mathbf{y}}^{\mathbf{n}}$, y > 0.

1. On pose $\mathbf{z}={\mathbf{y}}^{-1\mathbf{n}}$ , Déterminez une équation différentielle satisfaite par z.

2. Déduisez-en les solutions de (E).

[Noemi]

Bonjour WVTHS,

L'expression de $z$ est-elle correcte ?

[WVTHS]

Effectivement : $\mathbf{z}={\mathbf{y}}^{1-\mathbf{n}}$
Désolé…

[Noemi]

Détermine la dérivée de $z$.

[WVTHS]

la dérivée de $z=y^{1-n}$ est $z^{\prime }=\frac{1-n}{y^n}$

[Noemi]

Il manque $y^{\prime }$.

Divise chaque membre de l'équation (E) par $y^n$ puis écris l'équation différentielle en fonction de $z$.

[WVTHS]

Je ne trouve pas...

[Noemi]

A partir de l'équation : $y^{\prime }=ay+b{y}^n$.
Tu divises par $y^n$
$\frac{y^{\prime }}{y^n}=\frac{a}{y^{n-1}}+b$
cela donne
$\frac{z^{\prime }}{1-n}=az+b$

Je te laisse résoudre cette équation et proposer éventuellement ta réponse.