SOS Vecteur ∑ = (ABC)

Je ne comprend pas du tout la geometrie… je ne sais pas comment faire... Voici l'exercice :

L’espace est muni du repère orthonormal usuel.
on considère les points A (1; −1; 4), B (7; −1; −2) et C (1; 5; −2).

1//
a. calculez les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, et 𝐵𝐶.
b. déduisez-en que le triangle ABC est équilatéral.

2.//
a. montrez que le vecteur 𝒏 (𝟏;𝟏; 𝟏) est un vecteur normal au plan ∑ = (ABC).
b. déduisez-en une équation cartésienne de ce plan.

3// soit d la droite de représentation paramétrique cartésienne
x(t) = −2t,
y(t) = −2t −2,
z(t) = −2t −3 où t ∈ ℝ.

a. montrez que la droite d est perpendiculaire au plan ∑.
b. déterminez les coordonnées du point G, intersection de la droite D et de ∑.
c. montrez que G est l’isobarycentre des points A, Bet C.

4// soit s la sphère de centre G passant par A.

a. donnez une équation cartésienne de la sphère S.
b. déterminez les coordonnées des points d’intersection E et F de D et de S.
c. déterminez un vecteur normal à 𝐴𝐵 et à 𝐸𝐹.

MERCI BEAUCOUP !!

Bonjour WVTHS,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Coordonnées du vecteur $AB→:((xB−xA);(yB−yA);(zB−zA))\overrightarrow{AB} : ((x_B-x_A) ; (y_B-y_A); (z_B-z_A))$

Bonjour WTHS,

Je ne sais pas à quelle question tu commences à bloquer, tu ne le précises pas. C'est un exercice assez complet, donc on ne peut pas te donner toutes les méthodes pour toutes les questions !

Mais si tu bloques dès la première question, commence déjà par calculer les coordonnées des vecteurs $AB→\overrightarrow{AB}$ , $AC→\overrightarrow{AC}$ et $BC→\overrightarrow{BC}$ en utilisant les formules suivantes :
$xAB→=xB−xAx_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A$
$yAB→=yB−yAy_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A$
$zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$

J'ai toujours retenu cela au lycée, pour calculer les coordonnées des vecteurs : "Extrêmité moins origine" ! Ca m'a beaucoup aidé

Bonjour à tous,

@WVTHS , tu écris "Je ne comprends pas du tout la géometrie"...
Pour faire cet exercice, qui est un exercice bien construit, faisant intervenir les notions générales relatives à l’espace muni du repère orthonormal, il faut que tu commences par revoir( ou voir ) ton cours, pour pouvoir utiliser les "outils" nécessaires.

Je tente une synthèse, mais bien sûr, il faut que tu approfondisses chaque notion.

1.// Noemi et Guillaume.87 t'ont donné le départ.
a) Tu as dû trouver :
$AB→(6,0,−6)\overrightarrow{AB}(6,0,-6)$ ; $AC→(0,6,−6)\overrightarrow{AC}(0,6,-6)$ ; $BC→(−6,6,0)\overrightarrow{BC}(-6,6,0)$

b) Rappel ; Soit $U→(X,Y,−Z)\overrightarrow{U}(X,Y,-Z)$
La norme de $U→\overrightarrow{U}$ vaut : $∣∣U→∣∣=X2+Y2+Z2||\overrightarrow{U}||=\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$

Donc, $AB=∣∣AB→∣∣=62+02+(−6)2=62AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{6^2+0^2+(-6)^2}=6\sqrt 2$
Tu calcules de la même façon AC et BC et tu tires la conclusion sur la nature du triangle.

2.// a) $n→\overrightarrow{n}$ doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $Σ\Sigma$ .
Tu peux utiliser le produit scalaire.
Rappel : Soit $U→(X,Y,Z)\overrightarrow{U}(X,Y,Z)$ et $V→(X′,Y′,Z′)\overrightarrow{V} (X',Y',Z')$
$U→.V→=XX′+YY′+ZZ′\overrightarrow{U}.\overrightarrow{V}=XX'+YY'+ZZ'$
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si, leur produit scalaire vaut 0.
Par exemple, après calculs, $n→.AB→=0\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0$ et $n→.AC→=0\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=0$ , d'où la réponse.
Rappel :
b) Une équation générale d'un plan est ax+by+cz+d=0, où (a,b,c) sont les coordonnées d'un vecteur normal 'non nul) $n→\overrightarrow{n}$
Donc ici :
$1 x + 1 y + 1 z + d = 0$ c'est à dire $x + y + z + d = 0$
Pour trouver d, tu remplaces x,y,z par les coordonnées d'un point du plan (A ou B ou C) .
Après calcul, tu dois trouver ; $x + y + z - 4 = 0$

3.//
a) Rappel sur une représentation paramétrique d'une droite (d) passant par le point de coordonnées $x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $W→(a,b,c)\overrightarrow{W}(a,b,c)$ :
Tout point M(x,y,z) de la droite (d) est défini par :
${x=x0+tay=y0+tbz=z0+tc\begin{cases}x=x_0+ta\cr y=y_0+tb\cr z=z_0+tc \end{cases}$
avec t paramètre réel.
Ici, le vecteur $W→(−2,−2,−2)\overrightarrow{W}(-2,-2,-2)$ est normal au plan.
$W→=−2n→\overrightarrow{W}=-2\overrightarrow{n}$
$W→\overrightarrow{W}$ et $n→\overrightarrow{n}$ sont colinéaires.
Tu peux tirer la conclusion demandée.

b) Tu dois résoudre le système
${x=−2ty=−2−2tz=−3−3tx+y+z−4=0\begin{cases}x=-2t\cr y=-2-2t\cr z=-3-3t\cr x+y+z-4=0 \end{cases}$
Tu peux procéder par substitution.
Tu remplaces x,y,z par leurs expressions en fonction de t (3 premières équations) dans la 4ème équation .
Tu trouver ainsi, après calculs, $t=−32t=-\dfrac{3}{2}$
Ensuite, en remplaçant t par sa valeur, les 3 premières équations te donnent $G (3, 1, 0)$
c) Avec les coordonnées des points, tu dois prouver que :
$GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ (c'est la définition de l'isobarycentre)
Remarque : G est le centre de gravité du triangle (ABC) , c'est à dire l'intersection ds médianes

4;//
a) Rappel :
Une équation de la sphère de centre $G (a, b, c)$ et de rayon R est : $x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$

Avec les coordonnées , tu calcules $R = G A$ et tu trouves $R=24=26R=\sqrt {24}=2\sqrt 6$
Une équation de la sphère est donc :
$x-3)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=24$

b) Tu dois résoudre le système :
${x=−2ty=−2−2tz=−3−2t(x−3)2+(y−1)2+(z−0)2=24\begin{cases}x=-2t\cr y=-2-2t\cr z=-3-2t \cr (x-3)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=24\end{cases}$
Tu pratiques par substitution comme dans la question 3)b).
Tu dois trouver, sauf erreur
$E(3+22,1+22,22)E(3+2\sqrt 2, 1+2\sqrt 2, 2\sqrt 2)$ et $F(3−22,1−22,−22)F(3-2\sqrt 2, 1-2\sqrt 2, -2\sqrt 2)$

c) Tu calcules les coordonnées $EF→\overrightarrow{EF}$ et tu dois trouver $EF→(−42,−42,−42)\overrightarrow{EF}(-4\sqrt 2,-4\sqrt 2,-4\sqrt 2)$

Pour répondre le plus facilement possible , tu peux remplaces chacun des deux vecteurs considérés par un vecteur colinéaire.
$AB→\overrightarrow{AB}$ colinéaire à $U→(1,0,−1)\overrightarrow{U}(1,0,-1)$
$EF→\overrightarrow{EF}$ colinéaire à $n→(1,1,1)\overrightarrow{n}(1,1,1)$

Tu dois donc chercher un vecteur $W→(X,Y,Z)\overrightarrow{W}(X,Y,Z)$ tel que :
${W→.U→=0W→.n→=0\begin{cases}\overrightarrow{W}.\overrightarrow{U}=0\cr \overrightarrow{W}.\overrightarrow{n}=0 \end{cases}$

Tu traduis ce système en fonction des coordonnées des vecteurs et tu le résous .
Il y a une infinité de solutions.
En choisissant par exemple, Z=1, tu dois trouver, sauf erreur, $W→(1,−2,1)\overrightarrow{W}(1,-2,1)$

@WVTHS , si tu approfondis bien ton cours , en faisant cet exercice, tu auras vraiment progressé en géométrie analytique en 3D.
C'est, je pense, le but de cet exercice.

Bon courage !