Prolongements par continuité
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Bonjour j ai besoin de l aide
Soit f la fonction définie sur R* par f(x)=1-2cos(2x)/x²
Montrons que f est prolongable par continuité en 0
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@Baha-Azouz , bonjour,
Je regarde l'expression de f(x) que tu donnes.
Ce n'est pas clair car on ne sait pas s'il s'agit de
f(x)=1−2cox(2x)x2f(x)=1-\dfrac{2cox(2x)}{x^2}f(x)=1−x22cox(2x)
ou bien de
f(x)=1−2cos(2x)x2f(x)=\dfrac{1-2cos(2x)}{x^2}f(x)=x21−2cos(2x)Pour que f soit prolongeable par continuité en 0 , il faut trouver un réel a tel que
limx→0f(x)=a\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=ax→0limf(x)=a
Ainsi, f serait prolongeable par continuité en 0Le prolongement de f par continuité se note souvent f~\tilde{f}f~ (rien n'empêche de l'appeler g, bien sûr).
Ainsi,
Pour x≠0x\ne 0x=0 , f~(x)=f(x)\tilde{f}(x)=f(x)f~(x)=f(x)
Pour x=0x=0x=0 , f~(0)=a\tilde{f}(0)=af~(0)=aMais ici, que ça soit une ou l'autre des écritures, on obtient :
limx→0f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=-\inftyx→0limf(x)=−∞
Donc f n'est pas prolongeable en 0 par continuité.Il faut donc que tu revois ton énoncé vu que la limite n'est pas un réel a mais −∞-\infty−∞.
Tiens nous au courant si besoin.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Es-tu bien sûr de l'expression de f(x) ?
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BBlack-Jack dernière édition par
@Black-Jack a dit dans Prolongements par continuité :
Bonjour,
Es-tu bien sûr de l'expression de f(x) ?
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Bonjour,
Comme indiqué dans ma réponse, il y a erreur dans l'énoncé de @Baha-Azouz ...
Attendons pour en savoir plus.
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@Baha-Azouz , bonjour,
Pour comprendre :
Un exemple classique est la fonction f définie par f(x)=sinxxf(x)=\dfrac{sinx}{x}f(x)=xsinxf est définie sur R*
limx→0sinxx=1\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{sinx}{x}=1x→0limxsinx=1f est prolongeable par continuité en 0
Le prolongement de f par continuité en 0 est la fonction f~\tilde{f}f~ définie par :
Pour x≠0x \ne 0x=0 , f~(x)=sinxx\tilde{f}(x)=\dfrac{sinx}{x}f~(x)=xsinx
Pour x=0x = 0x=0 , f~(0)=1\tilde f(0)=1f~(0)=1