Prolongements par continuité


  • Baha Azouz

    Bonjour j ai besoin de l aide

    Soit f la fonction définie sur R* par f(x)=1-2cos(2x)/x²

    Montrons que f est prolongable par continuité en 0


  • mtschoon

    @Baha-Azouz , bonjour,

    Je regarde l'expression de f(x) que tu donnes.

    Ce n'est pas clair car on ne sait pas s'il s'agit de
    f(x)=1−2cox(2x)x2f(x)=1-\dfrac{2cox(2x)}{x^2}f(x)=1x22cox(2x)
    ou bien de
    f(x)=1−2cos(2x)x2f(x)=\dfrac{1-2cos(2x)}{x^2}f(x)=x212cos(2x)

    Pour que f soit prolongeable par continuité en 0 , il faut trouver un réel a tel que
    lim⁡x→0f(x)=a\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=ax0limf(x)=a
    Ainsi, f serait prolongeable par continuité en 0

    Le prolongement de f par continuité se note souvent f~\tilde{f}f~ (rien n'empêche de l'appeler g, bien sûr).
    Ainsi,
    Pour x≠0x\ne 0x=0 , f~(x)=f(x)\tilde{f}(x)=f(x)f~(x)=f(x)
    Pour x=0x=0x=0 , f~(0)=a\tilde{f}(0)=af~(0)=a

    Mais ici, que ça soit une ou l'autre des écritures, on obtient :
    lim⁡x→0f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=-\inftyx0limf(x)=
    Donc f n'est pas prolongeable en 0 par continuité.

    Il faut donc que tu revois ton énoncé vu que la limite n'est pas un réel a mais −∞-\infty.

    Tiens nous au courant si besoin.


  • B

    Bonjour,

    Es-tu bien sûr de l'expression de f(x) ?


  • B

    @Black-Jack a dit dans Prolongements par continuité :

    Bonjour,

    Es-tu bien sûr de l'expression de f(x) ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Comme indiqué dans ma réponse, il y a erreur dans l'énoncé de @Baha-Azouz ...

    Attendons pour en savoir plus.


  • mtschoon

    @Baha-Azouz , bonjour,

    Pour comprendre :
    Un exemple classique est la fonction f définie par f(x)=sinxxf(x)=\dfrac{sinx}{x}f(x)=xsinx

    f est définie sur R*
    lim⁡x→0sinxx=1\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{sinx}{x}=1x0limxsinx=1

    f est prolongeable par continuité en 0
    Le prolongement de f par continuité en 0 est la fonction f~\tilde{f}f~ définie par :
    Pour x≠0x \ne 0x=0 , f~(x)=sinxx\tilde{f}(x)=\dfrac{sinx}{x}f~(x)=xsinx
    Pour x=0x = 0x=0 , f~(0)=1\tilde f(0)=1f~(0)=1


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