Prolongements par continuité

Bonjour j ai besoin de l aide

Soit f la fonction définie sur R* par f(x)=1-2cos(2x)/x²

Montrons que f est prolongable par continuité en 0

Je regarde l'expression de f(x) que tu donnes.

Ce n'est pas clair car on ne sait pas s'il s'agit de
$f(x)=1−2cox(2x)x2f(x)=1-\dfrac{2cox(2x)}{x^2}$
ou bien de
$f(x)=1−2cos(2x)x2f(x)=\dfrac{1-2cos(2x)}{x^2}$

Pour que f soit prolongeable par continuité en 0 , il faut trouver un réel a tel que
$lim⁡x→0f(x)=a\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=a$
Ainsi, f serait prolongeable par continuité en 0

Le prolongement de f par continuité se note souvent $f~\tilde{f}$ (rien n'empêche de l'appeler g, bien sûr).
Ainsi,
Pour $x≠0x\ne 0$ , $f~(x)=f(x)\tilde{f}(x)=f(x)$
Pour $x = 0$ , $f~(0)=a\tilde{f}(0)=a$

Mais ici, que ça soit une ou l'autre des écritures, on obtient :
$lim⁡x→0f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty$
Donc f n'est pas prolongeable en 0 par continuité.

Il faut donc que tu revois ton énoncé vu que la limite n'est pas un réel a mais $−∞-\infty$ .

Tiens nous au courant si besoin.

Bonjour,

Es-tu bien sûr de l'expression de f(x) ?

@Black-Jack a dit dans Prolongements par continuité :

Bonjour,

Es-tu bien sûr de l'expression de f(x) ?

Bonjour,

Comme indiqué dans ma réponse, il y a erreur dans l'énoncé de @Baha-Azouz ...

Attendons pour en savoir plus.

@Baha-Azouz , bonjour,

Pour comprendre :
Un exemple classique est la fonction f définie par $f(x)=sinxxf(x)=\dfrac{sinx}{x}$

f est définie sur R*
$lim⁡x→0sinxx=1\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{sinx}{x}=1$

f est prolongeable par continuité en 0
Le prolongement de f par continuité en 0 est la fonction $f~\tilde{f}$ définie par :
Pour $\ne 0$ , $f~(x)=sinxx\tilde{f}(x)=\dfrac{sinx}{x}$
Pour $x = 0$ , $f~(0)=1\tilde f(0)=1$