Identifier une perpendiculaire commune

[Luc Goulet]

bonjour
je bloque sur une question d'un problème de géométrie.
ABCDEFG est un cube
M et N sont des points définies par AM=1/3 AC et BN=1/3 BE
I milieu de BF j'ai vérifié que AN=2/3 AI
J milieu de AD j'ai vérifié que BM=1/3 BJ
question qui me bloque: A l'aide de la relation de chasles démontrer que MN=1/3 DF
je suis nouveau sur le site j'espère avoir bien formulé ma question
merci de votre aide
majuju

[mtschoon]

@Luc-Goulet , bonjour,

Je regarde ton énoncé.
Je suppose que le cube se nomme ABCDEFGH
Je suppose aussi que tu parles de vecteurs.
Ta première vérification $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ est bonne
Par contre, la seconde est fausse Recompte.
D'après mes calculs, c'est $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BJ}$

Pour ta dernière question, tu peux, par exemple, exprimer, en utilisant la relations de Chasles, les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ , $\overrightarrow{DF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{AE}$

Je t'indique quelques éléments possibles :
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$
Tu déduis :
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=...=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$

Tu décomposes $\overrightarrow{DF}$ et tu dois trouver :
$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$

D'où la réponse.

Bons calculs.

[mtschoon]

@Luc-Goulet ,

Une autre version, si tu préfères, en transformant $\overrightarrow{MN}$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$

$\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AC})$

Tu continues de composer :

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CA})$

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CA})$

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})$

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AF})$

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF})$

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DF}$

CQFD.

Tu peux, bien sûr, trouver d'autres décompositions.