Exercice sur les suites (montrer la décroissance)

[Jade Dcp]

Bonjour, un peu d’aide ne serait pas de refus pour cet exercice qui porte sur les suites !

Voici l’énoncé :

La population d’une ville est de 100 000 habitants en 2019. Suite à la création d’un aéroport sur une zone très proche de la ville on est mais l’hypothèse que chaque année 15 % de la population quittera la ville, et que dans le même temps, 3000 nouveaux habitants seront attirés par des prix de l’immobilier en baisse. On note u0 la population en 2019.

1. Que vaut u0 ? Calculer u1 et u2.
2. Exprimer u(n+1) en fonction de u(n).
3. On admet que u(n) est toujours supérieur à 20 000. Démontrer que la suite est décroissante.

Mes réponses :

1. u0 = 100 000
   u1 = 100 000 x 0,85 + 3000 = 88 000
   u2 = 88 000 x 0,85 + 3000 = 77 800

2. u(n+1) = 0,85 x u(n) + 3000

3. On suppose que u(n) > 20 000
   Donc u(n+1) - u(n) = 0,85 x u(n) + 3000 - u(n)

Puis je suis plus ou moins bloquée...

[mtschoon]

@Jade-Dcp , bonjour,

OK pour tes réponses.

Tu peux déjà un peu simplifier l'expression de $U(n+1)-U(n)$ :

$U(n+1)-U(n)=-0.15U(n)+3000$

Ensuite, tu pars de l'hypothèse : $U(n)>20000$ et tu procèdes par inégalités successives

$-0.15\times U(n)<-0.15\times 20000$

$-0.15\times U(n)+3000<-0.15\times 20000+3000$

Après calculs, tu dois trouver :

$U(n+1)-U(n)<0$, d'où la conclusion.