Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, ...


  • IDRISS 2

    Bonjour,

    Mon professeur de maths ma donné un exercice à rendre mais je n'arrive pas à le résoudre la question 2 j'ai passer mon après-midi dessus mais en vingt. Je n'est pas l’habitude de demander de l'aide mais les suites est un chapitre que je n'apprécie pas forcément... Pourriez-vous m'aidez à le résoudre.

    Merci d'avance.

    On considère la suite (Un) définie par :

    U0 = 1/2
    Un+1 = 2Un/1+Un

    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

    Un = 2^n/1+2^n


  • mtschoon

    @IDRISS-2 , bonjour,

    Une remarque pour écrire les expressions mathématiques :
    Si tu n'utilises pas le Latex, mets suffisamment de parenthèses pour que l'on puisse distinguer clairement le numérateur et le dénominateur d'un quotient

    Je suppose qu'il s'agit de :
    Un+1=2Un1+UnU_{n+1}=\dfrac{2U_n}{1+U_n}Un+1=1+Un2Un et de Un=2n1+2nU_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}Un=1+2n2n

    Commence par bien regarder ton cours sur la méthode par récurrence.

    Pistes

    a) Initialisation
    Il faut vérifier que la propriété à démontrer est vraie pour la valeur de n de départ, c'est à dire ici n=0
    Vu que 20=12^0=120=1, tu peux justifier facilement que 201+20=12\dfrac{2^0}{1+2^0}=\dfrac{1}{2}1+2020=21 c'est à dire que : 201+20=U0\dfrac{2^0}{1+2^0}=U_01+2020=U0

    b)Transmission (on dit aussi hérédité )
    On suppose que la propriété à démontrer est vraie à un ordre n de N c'est à dire que Un=2n1+2nU_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}Un=1+2n2n et il faut prouver, qu'avec cette hypothèse, elle est vraie à l'ordre (n+1) c'est à dire que
    Un+1=2n+11+2n+1U_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}Un+1=1+2n+12n+1

    DEMONSTRATION

    Par hypothèse (de l'énoncé) : Un+1=2Un1+UnU_{n+1}=\dfrac{2U_n}{1+U_n}Un+1=1+Un2Un

    En utilisant l'hypothèse de la récurrence, tu remplaces UnU_nUn par 2n1+2n\dfrac{2^n}{1+2^n}1+2n2n , d'où :

    Un+1=2(2n1+2n)1+2n1+2nU_{n+1}=\dfrac{2\biggl(\dfrac{2^n}{1+2^n}\biggl)}{1+\dfrac{2^n}{1+2^n}}Un+1=1+1+2n2n2(1+2n2n)

    Il te reste à transformer cette expression

    Un+1=2×2n1+2n1+2n+2n1+2nU_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2\times 2^n}{1+2^n}}{\dfrac{1+2^n+2^n}{1+2^n}}Un+1=1+2n1+2n+2n1+2n2×2n

    Tu continues en simplifiant les (1+2n)(1+2^n)(1+2n) et en terminant les calculs et tu dois trouver la formule souhaitée :
    Un+1=2n+11+2n+1U_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}Un+1=1+2n+12n+1, d'où la conclusion.

    Reposte si tu n'arrives pas à terminer le calcul.


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