Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante:

[nisrine]

Bonjour j'ai un DM à rendre pour ce lundi, je suis complétement bloquée....voici l,énnoncé et j'ai déja fait la premiere question.

Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante:

• élément de listes'il ne fume pas un jour donné , il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0.9
• élément de listes'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0.6.

On appel $Fn$ l'événement "la personne fume au n-ième jour après avoir pris la décision d'arrêter" et $pn$ la probabilité de cet événement. On note $qn$ la probabilité que "la personne ne fume pas au n-ième jour après avoir pris la décision d'arrêter". On suppose que $p0=0$ et $q0=1$.
$1)$ Recopier et compplèter l'arbre ci-dessous:
$2)$ Calculer la probabilité de $F2$ puis interprèter ce résultat.
$3)$ recopier et complèter l'arbre de probabilité ci-dessous.
$4)$ En déduire que pour tout entier naturel $n$, $pn+1=0.6pn+0.1qn$ et $qn+1=0.4pn+0.9qn$.
$5)$ démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Pn+1=0.5p+0.1$( on pourra utiliser un lien entre $pnetqn$ )
$6)$ On pose $vn=pn-0.2$ pour tout $n$ entier naturel.

• a) Démontrer que la suite $(vn)$ est géométrique;

• b) En déduire que pour tout $n$ entier naturel on a , $pn=0.2-0.2\ast 0.5n$.

• c) Estimer les chances que cette personne arrête de fumer sur le long terme .

qst 1: $F2=0.9+0.6=1.5$ la personne a une probabilité de1.5 de na pas fumer deux jours consécutif.
Ensuite je suis complétement bloquée je ne sais pas par quoi commencer qu'elle méthode utiliser.....
Merci d'avance pour votre aide

[mtschoon]

@nisrine , bonjour,

Je ne vois pas tes images et de même celles que j'ai faites en .jpg ne sont pas visibles (problème d 'insertion d'images signalé au webmasteur du site).

Je vais tenter quelques explications...
La réponse que tu proposes pour la probabilité de $F_2$ ne peut pas être exacte car toute probabilité est comprise entre 0 et 1, donc ne peut pas valoir 1.5

Je te conseille de revoir ton cours sur les arbres probabilistes.

Comme je ne peux pas te joindre le mien, je t'indique la méthode.

J'appelle $Q_n$ l'évènement " "la personne ne fume pas au n-ième jour après avoir pris la décision d'arrêter" de probabilité $q_n$
Evidemment $q_n=1-p_n$ (probabilité d'évènements contraires)

ARBRE :
A partir d'un point, on trace deux branches :
une branche d'extrémité $F_0$ avec probabilité $p_0=0$
une branche d'extrémité $Q_0$ avec probabilité $p_1=1$

A partir de $F_0$, on trace deux branches :
une branche d'extrémité $F_1$ avec probabilité $p_1=0.6$
une branche d'extrémité $Q_1$ avec probabilité $q_1=1-0.6=0.4$

A partir de $Q_0$, on trace deux branches :
une branche d'extrémité $F_1$ avec probabilité $p_1=1-0.9=0.1$
une branche d'extrémité $Q_1$ avec probabilité $q_1=0.9$

Tu continues !

A partir de $F_1$ (qui suit $F_0$), on trace deux branches :
une branche d'extrémité $F_2$ avec probabilité $p_2=0.6$
une branche d'extrémité $Q_2$ avec probabilité $q_2=1-0.6=0.4$

A partir de $Q_1$(qui suit $F_0$), on trace deux branches :
une branche d'extrémité $F_2$ avec probabilité $p_2=1-0.9=0.1$
une branche d'extrémité $Q_2$ avec probabilité $q_2=0.9$

A partir de $F_1$ (qui suit $Q_0$) on trace deux branches :
...
...

A partir de $Q_1$ (qui suit $Q_0$) on trace deux branches :
...
...

(je te laisse compléter)

Tu utilises la méthode de l'arbre probabiliste fait (voir cours) en suivant les branches qui se terminent par $F_2$
Tu trouves :
$p(F_2)=(0\times 0.6\times 0.6)+(0\times 0.4\times 0.1)+(1\times 0.1\times 0.6)+(1\times 0.9\times 0.1)$

$p(F_2)=(0.1\times 0.6)+(0.9\times 0.1)=...$

Remarque : la portion de l'arbre qui commence par $F_0$ aurait pu ne pas être mise vu que la probabilité de départ est nulle.
Je te l'ai seulement indiquée pour que le raisonnement logique soit plus clair.

Pour le calcul de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$, tu utilises la même méthode.

Tiens nous au courant si tu ne comprends pas (car sans schémas, ce n'est pas simple...)

[nisrine]

@mtschoon merci d'avoir pris du temps pour pouvoir m'aider, comme les images ne se transmettent pas je vous propose de regarder sur nosdevoirs.fr où j'ai aussi posté ce sujet et on peut voir les deux arbres de probabilités ( en téléchargeant les documents). Car je ne comprend pas très bien $qn$ et $pn$ sont bien placé sur les branche et non pas au bout de l'arbre? car sur mes arbres à compléter, 0.9 et 0.6 sont placés au bout des arbres.

[mtschoon]

@nisrine

$P_n$ et $Q_n$ sont les évènements et doivent être placés au bout de branches;
Les probabilités $p_n$ et $q_n$ doivent être placées sur les branches,

0.6 et 0.9 doivent être placés sur les branches ( en non au bout des branches)

Tu peux éventuellement regarder des exemples ici : http://www.jybaudot.fr/Probas/arbres.html

[nisrine]

@mtschoon ma professeure à dû se tromper alors... merci beaucoup je vais regarder de suite votre lien!

[nisrine]

@mtschoon je ne comprend pas pk je trouve 0.87 pour p(F2) alors que vous trouvez 0.69 sachant quand vérifiant 1-0.87 je trouve 0.13 et que la somme de mes autres probabilité font 0.13 ce qui confirme mon résultat.

[mtschoon]

@nisrine ,

Indique ta démarque qui te donne 0.87, pour pouvoir comprendre.

Quelques éléments pour la suite, si besoin.

Tu dois trouver que $(V_n)$ est géométrique de raison 0.5

Pour $p_n$, dans ton texte, il y a une erreur d'exposant.
Il faut trouver : $p_n=0.2-0.2\times 0.5^n$