Devoir Suites - Terminale

[Victor Duniach]

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[mtschoon]

@Victor-Duniach , bonjour,

Quelques pistes,

1. Je regarde tes réponses.
   $S_2$ et $S_4$, c'est bon mais revois $S_3$

2. Tu peux raisonner sans calcul

Idée à expliciter:

$S_{n+1}$ est le nombre total de segments qui ont pour extrémités deux de n+1 points
Avec n points , il y a $S_n$ segments possibles
Le point supplémentaire peut être joint à ces n points d'où n segments de plus, d'où la réponse.

3. un raisonnement par récurrence convient très bien

Bien sûr, il y a une formule relative aux dénombrements (combinaisons) qui donne directement la réponse mais peut-être que tu ne la connais pas encore...

Reposte si besoin.

[Victor Duniach]

@mtschoon Merci beaucoup ! J'ai fais une erreur de frappe pour la 1ère question : j'avais bien trouvé un autre résultat ( 3 )
Pour les deux autres questions votre aide me permet de beaucoup mieux comprendre, je devrais être capable de finir ce problème.
Merci !

[mtschoon]

@Victor-Duniach ,

Oui, c'est bien $S_3=3$

Pour la 3), revois la formule que tu donnes pour $S_n$
Ton énoncé doit indiquer :
$S_n=\frac{n(n-1)}{2}$ et non $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$
Vérifie.

J'espère que ça ira, sinon reposte.

[Victor Duniach]

@mtschoon Effectivement je me suis trompé ... mais c'est Sn+1 = [n(n+1)]/2
(je pense que sous cette forme c'est mieux, sinon mon prof a fait une erreur)

J'ai donc essayé de faire une démonstration par récurrence :
Initialisation : Sn+1 = S2 = [1(1+1)]/2 = 1
Hérédité :
Ici je ne sais pas si il est possible de commencer directement avec Sn+1 puis aller vers Sn+2 ou bien faut-il commencer avec Sn pour arriver à Sn+1 ?
J'ai essayé de faire ceci :
Sn+1 = [n(n+1)]/2
(Sn+1)(n+1) = ([n(n+1)]/2) * (n+1)
(Sn+1)(n+1) = [(n+1)(n+2)]/2
Et à ce niveau j'hésite, je ne sais pas si (Sn+1)*(n+1) = Sn+2, si oui, alors c'est bon, si non je ne sais pas comment faire.
Sn+2 = [(n+1)(n+2)]/2 ?

Merci de votre précieuse aide !

[mtschoon]

@Victor-Duniach

Pistes pour la récurrence,

Initialisation :
Tu vérifies que la propriété à démontrer est vérifiée pour n=2

Hérédité,
Pour $n\ge 2$, tu supposes que $S_n=\frac{n(n-1)}{2}$
Tu dois démontrer que la propriété est vraie à l'ordre (n+1) c'est à dire que $S_{n+1}=\frac{(n+1)n}{2}$

Pour le démontrer , tu utilises la propriété de la question 2
$S_{n+1}=S_n+n=\frac{n(n-1)}{2}+n$

Je te laisse transformer cette expression pour trouver l'expression souhaitée de $S_{n+1}$