Sens de variation d'une suite

Déterminer le sens de variation de la suite Vn définie pour n appartenant à N par la relation Vn = 2^n / n
Je ne parviens pas à expliquer qu'elle est décroissante de 1 à 1,5 environ puis croissante ensuite
Merci d'avance à la personne qui me répondra

Bonjour,

n doit être dans N* et pas dans N, V0 n'existe pas.

V(n) = 2^n/n
V(n+1) = 2^(n+1)/(n+1) = 2.2^n/(n+1)

V(n+1) - V(n) = 2.2^n/(n+1) - 2^n/n
V(n+1) - V(n) = 2^n * (2/(n+1) - 1/n)
V(n+1) - V(n) = 2^n * (2n - n - 1)/((n+1)*n)

V(n+1) - V(n) = 2^n/((n+1)*n) * (n - 1)

Comme 2^n/((n+1)n) > 0 (pour tout n de N), V(n+1) - V(n) a le signe de (n - 1), donc >= 0

V(n+1) - V(n) = 0 pour n = 1 et donc V1 = V2
V(n+1) - V(n) > 0 pour n > 1 ---> La suite est croissante.

Dans ma réponse précédente, lire :

Comme 2^n/((n+1)n) > 0 (pour tout n de N*), V(n+1) - V(n) a le signe de (n - 1), donc >= 0

Merci pour votre réponse ...
Ce qui me gênait , à savoir que la suite passait par un minimum entre 1 et 2 , n'a pas lieu d'être car on ne s'intéresse qu'aux nombres entiers, d'après l'énoncé
Mais personnellement, je continuerai à chercher les variations de cette suite entre 1 et 2 mais sans vous importunez !

Bonjour,

@Rene90 , bonjour,

Si j'ai bien lu ton dernier message, tu veux chercher les variations de la fonction V définie par $V(x)=2xxV(x)=\dfrac{2^x}{x}$ pour $x∈[1,2]x\in [1,2]$

Si c'est bien ça, tu calcules la dérivée et son signe pour $x∈[1,2]x\in [1,2]$

Sauf erreur, tu dois trouver
$V′(x)=2xx2(xln2−1)V'(x)=\dfrac{2^x}{x^2}(xln2-1)$

Le minimum de V sera pour $x=1ln2x=\dfrac{1}{ln2}$

$1ln2≈0.4427\dfrac{1}{ln2}\approx 0.4427$

Bonnes recherches.

Bonjour mtschoon !
Merci pour ton message, je ne me souvenais plus de la dérivée de la fonction 2 puissance x sur x
Bonne fin de journée

@Rene90 , bonjour,

J'espère que tu as pu calculer $V^{'} (x)$

Si besoin, je t'indique les propriétés usuelles utiles pour le faire.

$(x)^{'} = 1$
$2^x)'=2^x.ln2$

dérivée d'un quotient : $(uv)′=u′v−uv′v2\biggr(\dfrac{u}{v}\biggl)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Bons calculs et bon week-end.

Bonjour,

Attention quand même,

Rene90 parle de variations de la SUITE et mentionne (2 fois, post initial et plus loin) qu'elle passe par un minimum entre 1 et 2.
C'est faux.

Il serait bien de comprendre la différence entre une suite V(n) (définie pour n de N*) et une fonction f définie par f(x) pour x dans R*+

On peut évidemment passer par l'étude de la fonction f définie par f(x) = 2^x/x pour x dans R+*, mais il faut ensuite faire une interprétation réfléchie des résultats pour répondre à la question posée (qui concerne la suite).

Bonjour,

Tout à fait d'accord, @Black-Jack, mais (car il y a un mais ) @Rene90 a mal posé sa question...

Je pense que @Rene90 a parlé de "SUITE" par erreur (je pense qu'il n'est pas en Terminale ; il a fait ses études mathématiques il y a fort longtemps et il a un peu oublié...) sans réaliser que , dans le cas d'une suite, n prend exclusivement des valeurs naturelles.

Lorsqu'il dit que la suite "passe par un minimum entre 1 et 2" , dans son "langage", il veut visiblement parler de la fonction V, fonction numérique de variable réelle x (avec la notation habituelle) qui passe par un minimum entre x=1 et x=2, c'est à dire que sa question n'a rien à voit avec une suite...

C'est pour cela que j'ai bien précisé dans ma réponse que je répondais à sa dernière question en parlant de variations de FONCTION entre 1 et 2", car "chercher les variations d'une suite entre 1 et 2" n'a pas de sens...

Peut-être que maintenant @Rene90 a compris, sinon il demandera.

C'est très bien de sa part de se replonger dans ce sujet, si ça l'intéresse.

Je viens de voir que @Rene90 a posé la question sur un autre forum et qu'il dit avoir observé "graphiquement".

Sa calculette (ou autre outil) a dû lui donner la représentation graphique de la fonction V définie par $V(x)=2xxV(x)=\dfrac{2^x}{x}$ .
Il a vu, pour x >0, que le minimum de cette fonction était pour une valeur de la variable voisine de 1.5 (qui mathématiquement est $1ln2\dfrac{1}{ln2}$ )

ça doit être cela l'origine de sa question qui n'a rien à voir avec une suite...

En bref, pour pouvoir l'aider, il ne fallait pas prendre sa question "à la lettre"...

Son titre aurait dû être " Sens de variation d'une fonction, pour x > 0 "
Peut-être qu'un modérateur fera les modifications...