3. Polynôme de second degré

Polynôme de second degré

  • maybessa

    Bonjour je voudrai avoir quelque pistes pour commencer cet exercice:

    On sait que la parabole P d'une fonction de polynôme f de degré 2 passe par les 2 points:
    A(0;-3), B(1;-4) et C(2;-3)

    1. Déterminer la forme développée de f(x)
      2.Donner la forme canonique du trinôme f. En déduire les coordonnées du sommet de P et son axe de symétrie.

    Il y a d'autres questions mais j'aimerai être aidé sur les premières questions pour pouvoir répondre aux autres toute seule.

    Merci d'avance.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Maissane,

    Pour la question 1, remplace les coordonnées des points dans l'équation générale
    f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c
    Exemple :
    Pour A(0;−3)A(0;-3)A(0;−3) cela donne −3=a×02+b×0+c-3 = a\times0^2+b\times0 + c−3=a×02+b×0+c, d'ou c=....c= ....c=....

  • mtschoon

    @Maissane , bonjour

    @Noemi t'a mis sur la voie.

    Je t'en dis un peu plus, pour que tu puisses vérifier tes calculs

    B∈(P)B\in (P)B∈(P) <=> f(1)=−4f(1)=-4f(1)=−4 <=> a+b+c=−4a+b+c=-4a+b+c=−4

    C∈(P)C\in (P)C∈(P) <=> f(2)=−3f(2)=-3f(2)=−3 <=> 4a+2b+c=−34a+2b+c=-34a+2b+c=−3

    Tu as ainsi un système d'équations d'inconnues a, b, c à résoudre.

    Sauf erreur, tu dois trouver a=1,b=−2,c=−3a=1,b=-2, c=-3a=1,b=−2,c=−3

    Tu obtiens ainsi la forme développée de f(x) et tu peux en déduire la forme canonique.

    Tiens nous au courant de tes calculs/réponses si tu as besoin.

  • maybessa

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  • maybessa

    Pour B, pour trouver -4 : on a a+b+c= -4
    On a la valeur de c donc : a+b -3 = -4
    On fait passer de l'auutre côté: a+b= -1

    Et la je ne sais pas quoi faire calculer le a ou le b?

    et pour le dernier d'ou vienne 4a et 2c?

  • maybessa

    a fois 1+ b fois 1 = -1
    2= -1
    a ou b? = 1
    J'ai trouvé 1 mais comment sait on que 1 correspond à a et non à b?

  • mtschoon

    @Maissane ,

    Tu sais déjà que c=−3c=-3c=−3 (regarde la réponse de @Noemi )

    Tu peux remplacer c par -3 dans les deux autres équations, ce qui te fait :

    a+b−3=−4a+b-3=-4a+b−3=−4 c'est à dire a+b=−4+3a+b=-4+3a+b=−4+3 c'est à dire a+b=−1\boxed{a+b=-1}a+b=−1​

    4a+2b−3=−34a+2b-3=−34a+2b−3=−3 c'est à dire 4a+2b=3−34a+2b=3-34a+2b=3−3 c'est à dire 4a+2b=04a+2b=04a+2b=0 c'est à dire 2(2a+b)=02(2a+b)=02(2a+b)=0 c'est à dire 2a+b=0\boxed{2a+b=0}2a+b=0​

    a et b sont donc solutions du système
    {a+b=−12a+b=0\begin{cases}a+b=-1\cr 2a+b=0\end{cases}{a+b=−12a+b=0​

    Essaie de terminer cette résolution par combinaison ou par substitution.

  • maybessa

    Mais comment avez vous trouver 4a+2b? Vous avez fait un calcul pour les trouver?

  • maybessa

    Sinon on peut voir à la deuxième solution du système que lorsque l'on rajoute 1 on obtient 0, don cela vient de 2a et on peut en déduire que a= 1

    2a+b=0
    2 fois 1 +b= 0
    2+b=0
    b= -2.

  • maybessa

    1. La forme développée est donc f(x)= x² -2x -3

    2. La forme canonique:
      ⍺ = -b/2a
      = 2/ 2 fois 1
      = 1

    β= - b²-4ac/4a
    = - -2²-4(1 fois -3)/ 4 fois 1
    = -4

    On peut donc en déduire la forme canonique:

    f(x)= a(x-⍺)²+ β
    = (x-1)²-4

  • maybessa

    Pour la deuxième partie de la question 2:

    Les coordonnées du sommet P sont (1;-4)
    L'axe de symétrie est égale à x=1.

    1. Vérifier que -1 est une racine de f. En déduire sa deuxième racine.

    f(-1)=(-1)²-2 fois -1 -3
    = -2

    Pour trouver la deuxième racine on utilise la formule de la somme des racines:

    S= x1+x2= -b/a
    = -2+x2= 2/1
    = x2= 1
    x2=1

    Les deux racines de f sont donc 1 et -2.
    La question 4 est la construction de la parabole mais je pense réussir seule.
    Pouvez vous me dire si toute mes réponses sont correctes?
    Merci d'avance.

  • mtschoon

    @Maissane ,

    J'essaie de répondre à tes questions dans l'ordre.

    En remplaçant c par -3 :
    f(2)=−3f(2)=-3f(2)=−3 <=> 4a+2b−3=−34a+2b-3=-34a+2b−3=−3 <=>4a+2b=3−34a+2b=3-34a+2b=3−3 <=> 4a+2b=04a+2b=04a+2b=0

    OK pour la forme développée

    OK pour la forme canonique

    OK pour le sommet et l'axe d'équation x=1

    Recompte f(-1)
    Pour que -1 soit racine de f, il faut forcément que f(-1)=0
    Recompte la seconde racine

  • maybessa

    Oui je me suis corrigée donc j ai trouvé : f(-1) = -4

    S= x1+x2= -b/a
    = -4+x2= 2/1
    =x2= 0,5

    x2=0,5

    Les deux racines de f sont donc -2 et 0,5.

    Merci beaucoup pour votre aide.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Maissane,
    f(x)=x²−2x−3f(x)= x² -2x -3f(x)=x²−2x−3
    f(−1)=(−1)2−2×(−1)−3f(-1)= (-1)^2-2\times(-1)-3f(−1)=(−1)2−2×(−1)−3
    f(−1)=1+2−3=.....f(-1) = 1 +2 - 3 = .....f(−1)=1+2−3=.....

  • maybessa

    Merci j'ai hésité parce que ma calculatrice m'a donné ça.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Tu aurais pu utiliser la forme canonique pour calculer f(−1)f(-1)f(−1)
    f(x)=(x−1)2−4f(x) =(x-1)^2-4f(x)=(x−1)2−4
    f(−1)=(−1−1)2−4=...f(-1) = (-1-1)^2-4 = ...f(−1)=(−1−1)2−4=...

  • maybessa

    Oui merci je n'y avais pas pensé

  • mtschoon

    @Maissane ,

    @Noemi t'a donné deux pistes pour trouver f(-1).

    En plus regarde ton énoncé :
    Vérifier que -1 est une racine de f
    Tu dois savoir qu'il faut vérifier que f(-1)=...

  • maybessa

    Merci pour toutes vos réponses, ça m'a vraiment aider.

  • mtschoon

    @Maissane ,
    Si tu as trouvé qu f(-1)=0 c'est à dire que -1 est racine de f, c'est à dire solution de f(x)=0, tu connais donc une racine .

    Si tu le souhaites, tu peux nous indiquer, pour vérification, qu'elle est l'autre racine.

  • maybessa

    Oui j'ai bien trouvé 0 pour f(-1) pour l'autre racine j'ai donc trouvé 2.

  • mtschoon

    @Maissane

    Non, l'autre racine n'est pas 2

    x1+x2=−bax_1+x_2=-\dfrac{b}{a}x1​+x2​=−ab​

    en prenant x1=−1,a=1 et b=−2x_1=-1, a=1\ et \ b=-2x1​=−1,a=1 et b=−2, cela donne :

    −1+x2=−−21-1+x_2=-\dfrac{-2}{1}−1+x2​=−1−2​ c'est à dire −1+x2=21-1+x_2=\dfrac{2}{1}−1+x2​=12​ , c'est à dire −1+x2=2-1+x_2=2−1+x2​=2

    donc : x2=...x_2=...x2​=...

  • maybessa

    Oh oui mince j'ai mis 0 désolé je suis maladroite c'est x2= 3

  • mtschoon

    @Maissane

    OUI !

    Tu pourras maintenant retrouver toutes ces réponses sur la parabole que l'énoncé te demande de faire.

    Bon travail !

  • maybessa

    Merci beaucoup pour votre aide

  • maybessa

    @mtschoon

    Bonjour,

    Je voulais vous remercier des conseils que vous m'avez donné lors de ce DM qui m'ont permis d'avoir 19 à mon Interrogation.
    J'ai un DS sur ce chapitre dans deux semaines et je sais que les exercices seront difficiles et je voulais savoir si vous connaissiez des sites incluant des exercices corrigés car j'en trouve mais non corrigés et j'aimerai savoir les erreurs que je fais pour ne pas les faire dans le DS.

    Merci d'avance.
    Bonne journée.

  • mtschoon

    @Maissane ,

    Tout d'abord, bravo pour ton 19 en interrogation !

    Pour trouver un site pour exercices corrigés de Mathématiques en Première, tu peux faire une recherche avec Google par exemple (en précisant bien "exercices corrigés" dans ta question ).
    Tu trouveras des sites, mais ne les connaissant pas, j'ignore leurs qualités.
    En voici un : http://xymaths.free.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php.
    Tu peux voir si celui-ci te convient.

    Sur le site de MathforU , pour bien comprendre ton cours, tu peux consulter la partie COURS.
    Bien sûr, si tu as un exercice qui te pose problème, tu peux , comme tu l'as déjà fait, utiliser le FORUM.

    A bientôt peut-être et bon travail.🙂

  • Itachi Uchiha

    Bonjour,
    J'ai un ex
    F(x) =10x/x^2+2x+4
    Et je dois justifier que f est définie sur R
    Merci d'avance 😀

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Itachi-Uchiha Bonjour,

    Pour un nouveau exercice, il faut ouvrir un autre sujet et indiquer ses éléments de réponse.

  • mtschoon

    Bonjour,

    @Itachi-Uchiha , on attend toujours ton sujet ouvert dans une nouvelle discussion, pour te répondre, si tu as besoin.

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