Suite Vn = Un+alpha, montrer qu'il existe une valeur alpha pour Vn soit une Sg


  • Yoann Creze

    On considère la suite (Un) définie par Uo=0
    Et Un+1 = 1/3Un +1
    On pose pour tout entier n, Vn=Un +alpha
    Montrer qu'il existe une valeur de alpha pour laquelle (Vn) est géométrique.
    Pour l'instant j'hésite entre faire Vn en fonction de alpha ou Vn+1-Vn
    Aidez moi s'il vous plaît, merci !


  • mtschoon

    @Yoann-Creze , bonjour,

    Ici, un petit "bonjour" ou "bonsoir" fait plaisir lorsqu'on vient poser une question.
    Pense-y une autre fois.

    Idée : Tu dois calculer Vn+1V_{n+1}Vn+1 en fonction de VnV_nVn pour en déduire la valeur de α\alphaα pour laquelle (Vn)(V_n)(Vn) est géométrique.

    Piste pour démarrer,

    Vn+1=Un+1+αV_{n+1}=U_{n+1}+\alphaVn+1=Un+1+α
    Vn+1=13Un+1+αV_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+1+\alphaVn+1=31Un+1+α

    Vu que Vn=Un+αV_n=U_n+\alphaVn=Un+α, tu peux déduire : Un=Vn−αU_n=V_n-\alphaUn=Vnα

    D'où:
    Vn+1=13(Vn−α)+1+αV_{n+1}=\dfrac{1}{3}(V_n-\alpha) +1+\alphaVn+1=31(Vnα)+1+α

    En développant :

    Vn+1=13Vn−13α+1+αV_{n+1}=\dfrac{1}{3}V_n-\dfrac{1}{3}\alpha +1+\alphaVn+1=31Vn31α+1+α

    Vn+1=13Vn+23α+1V_{n+1}=\dfrac{1}{3}V_n+\dfrac{2}{3}\alpha +1Vn+1=31Vn+32α+1

    Tu termines pour obtenir la valeur de α\alphaα qui convient.


  • Yoann Creze

    @mtschoon Un petit bonsoir, merci beaucoup et oui j'y penserai la prochaine fois, excusez moi🙂


  • mtschoon

    @Yoann-Creze , pas de problème , tu es tout à fait excusé !

    J'espère que tu as trouvé α=−32\alpha=-\dfrac{3}{2}α=23


  • Yoann Creze

    @mtschoon bonsoir, oui c'est ça merci beaucoup ! Maintenant je dois calculer Vn et un en fonction de n.


  • Yoann Creze

    @Yoann-Creze j'ai donc fait Vn= Vo *(-3/2)**n
    Puis Un


  • mtschoon

    @Yoann-Creze ,

    Non, car la raison de la suite géométrique ne vaut pas -3/2

    C'est α\alphaα qui vaut -3/2 .

    Et ainsi : Vn+1=13VnV_{n+1}=\dfrac{1}{3}V_nVn+1=31Vn

    donc ...


  • Yoann Creze

    @mtschoon Donc Vn =1/3n?
    Et Un =-1/3n?


  • mtschoon

    @Yoann-Creze

    Tes conclusions sont inexactes .
    Revois ton cours sur les suites géométriques.

    Vn+1=13VnV_{n+1}=\dfrac{1}{3}V_nVn+1=31Vn prouve que la suite (Vn)(V_n)(Vn) est géométrique de raison 13\dfrac{1}{3}31

    D'après ton cours, Vn=V0(13)nV_n=V_0\biggr( \dfrac{1}{3}\biggr)^nVn=V0(31)n

    Tu dois calculer V0V_0V0

    V0=U0+α=0+−32=...V_0=U_0+\alpha=0+\dfrac{-3}{2}=...V0=U0+α=0+23=...

    Tu en déduis ensuite que Un=Vn−α=....U_n=V_n-\alpha=....Un=Vnα=....