Les intégrales

bonjour,

J'aurais besoin d'un peu d'aide car je bloque sur certaines questions de mon exo

On définit f et g sur R par f(x)=e^(-2x²+2x-1) et g(x)= intégrale de [0;x] de f. On n'essaira pas de trouver F, une primitive de f. On pose q=1 et z=1/2.

1-Etablir le tableau de variations complet de f et en déduire un encadrement de I= intégrale de [0;q] de f. On prouvera une particularité ce Cf.
f'=(-4x+2)*e^(-2x²+2x-1)
la dérivée s'annule pour x=1/2.
f(x) croît de (-l'infini,0) à (1/2,1/ $s q r t$ e)) puis décroît jusqu'à (+l'infini,0).
f(x)=exp(-2(x-1/2)-1/2)
si on fait le changement d'origine X=x-1/2, f(X) est une fonction paire: x=1/2 est un centre de symétrie.
f(0)=1/e et f(1)=1/e
I= intégrale de [0;1] de f est la surface entre la courbe, l'axe des x et les droites x=0 et x=. Elle est comprise entre la surface des 2 rectangles de longueur 1 et de largeur 1/e et 1/ $s q r t$ e) (faites une figure).
donc I est compris entre 1/e et 1/ $s q r t$ e)
comment obtenir l'encadrement de I ?
La courbe de f admet un centre de symétrie mais je ne sais pas comment le prouver?

2-Etudier les variations et le signe de g. On prouvera que Cg admet un centre de symétrie.
D'après l'étude de f : g est croissante sur 0 à e^(1/2) et décroissante sur e^(1/2) à 1. Et g est positif.
Mais je ne sais pas comment démontrer le centre de symétrie.

3-Déterminer une fonction affine décroissante d tel que d(x) {} \ge {} -2x²+2x-1 sur R. En déduire que la limite de g en + infini n'est pas + infini. Et en - infini ?
Je n'est pas réussi à trouver la fonction affine car à chaque fois je trouve une valeur de a ou b dans la fonction affine nul.
Et je ne vois pas comment déduire les limites car ce n'est qu'une intégrale.

4-Déterminer une parabole d'équation y=P(x) contenant les points A(0,f(0)), B(q,f(q)) et C(z,f(z)).
Je ne vois pas comment faire ?

5-Calculer J= intégrale de [0;1] de P. Vérifier que J=(d/6)*(f(0) + f(q) + 4f(z)) et comparer à I.
Pas réussi puisque j'ai pas réussie la question 4

Merci de votre aide

merci de vérifier ce que j'ai fait et de m'aider à résoudre celles ou je bloque

2-Etudier les variations et le signe de g. On prouvera que Cg admet un centre de symétrie.
=> comment prouver que Cg admet un centre de symétrie.

3-Déterminer une fonction affine décroissante d tel que d(x) -2x
+2x-1 sur R. En déduire que la limite de g en + infini n'est pas + infini. Et en - infini ?
On veut alpha x + b >= -2x² + 2x -1 sur R soit -2x² + (2- alpha) x - 1 - b <= 0 sur R

On est donc en présence d'un trinôme qui doit être négatif ou nul sur R donc il ne doit pas changer de signe. Pour cela son discriminant doit être négatif ou nul.
En prenant a=-2 et b=1, le discriminant est nul donc le trinôme est du signe de a=-2 soit négatif ou nul pour les racines du trinôme.
discriminant = (2- alpha)² - 4 (-2) (-1-b) = a² - 4 alpha - b - 4

On a donc sur R, -2x² + 2x -1 <= -2x + 1 donc e^ (-2 x² + 2 x -1) <= e^(-2x + 1)

Si x>0, on a alors

lim e^(-2x-1)=0 quand x tend vers + l'infini donc lim g(x) quand x tend vers + l'infini est majoré par 1/2 e et ne tend pas vers +l'infini.

Si on admet que g est impaire alors g ne tend pas vers -l'infini quand x tend vers - l'infini.

4-Déterminer une parabole d'équation y=P(x) contenant les points A(0,f(0)), B(q,f(q)) et C(z,f(z)).
Je ne vois pas comment faire ?
En prenant les coordonnées des points et P(x) = ax² + bx + c, il faut résoudre le système :

c=(1/e)
a + b + c = 1/e
mais je bloque je n'y arrive pas ???

bonjour,

pour la 4 tu as oublié le point C(1/2 ; f(1/2)) qui te donne une 3ème équation donc 3 inconnues a b et c et 3 équations donc cela devrait être faisable

Pour la 3 je je comprends pas la question !

sum ? alpha ? a et b coefficients de la fonction affine cherchée ?

Pour la 2 c'est fait puisque tu as montré avec le changement de variable que la fonction f(X) est paire la droite x = 1/2 est axe de symétrie pour la courbe représentant f

Au passage je te signale que la lecture de ton pavé est vraiment pas facile .... C'est confus compact