Suite Un avec n factorielle

Bien le bonjour amis matheux, la suite (Un) est définie pour 40n/n!
Il faut calculer un+1/un et je suis bloqué pour la factorisation de 40n/(n+1)!×n!/40**n
Puis il faut étudier la monotonie de la suite
Je ne sais pas comment simplifier le calcul
Merci beaucoup pour votre aide !

@Yoann-Creze , bonjour,

L'écriture de $U_n$ me laisse perplexe.

Tu as écrit $Un=40nn!U_n=\dfrac{40n}{n!}$

Si c'est vraiment cela, il y a une simplification par n : $Un=40(n−1)!U_n=\dfrac{40}{(n-1)!}$

Dans ce cas,

$Un+1Un=40n!40(n−1)!\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{\dfrac{40}{n!}}{\dfrac{40}{(n-1)!}}$

En multipliant la première fraction par l'inverse de la seconde et en simplifiant par 40, tu obtiens
$Un+1Un=(n−1)!n!=1n\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{(n-1)!} {n!}=\dfrac{1}{n}$

Reposte si l'énoncé que tu as donné est inexact.

@mtschoon oui en effet c'est 40puissance n /n!
Excusez moi

@Yoann-Creze ,

Je reprends,

$Un+1Un=40n+1(n+1)!40nn!\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{\dfrac{40^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{40^n}{n!}}$

$Un+1Un=40n+1(n+1)!×n!40n\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{40^{n+1}}{(n+1)!}\times \dfrac{n!}{40^n}$

Or, $40n+140n=40\dfrac{40^{n+1}}{40^n}=40$

et

$n!(n+1)!=1n+1\dfrac{n!}{(n+1)! }=\dfrac{1}{n+1}$

Tu tires la conclusion.

@mtschoon d'accord puis on en déduis sur la monotonie de la suite

@Yoann-Creze puis il faut que je démontrés par récurrence n>n0, n !>41**n

@Yoann-Creze ,

Je pense que tu as trouvé :
$Un+1Un=40n+1\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{40}{n+1}$

Pour l'étude de la monotonie de la suite, tu utilises cette réponse.

Piste :

Tu as une suite à termes positifs.

Lorsque $Un+1Un≥1\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\ge 1$ , $Un+1≥UnU_{n+1}\ge U_n$ c'est à dire $U_n)$ est croissante
Tu cherches les valeurs de n qui conviennent

De même
Lorsque $Un+1Un≤1\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\le 1$ , $Un+1≤UnU_{n+1}\le U_n$ c'est à dire $U_n)$ est décroissante
Tu cherches les valeurs de n qui conviennent

Remarque pour ta dernière question:
Tu as écrit n>n0
Que vaut n0 ?

@mtschoon n0 vaut 1 40**0/0!=1

@Yoann-Creze ,

je te conseille d'étudier d'abord la monotonie de la suite $U_n)$ en fonction de de n, avec les pistes que je t'ai indiquées.
Tu peux donner ta réponse pour vérification si tu le souhaites.

Ta dernière question est des plus confuse...
Pour n > 1, comme tu l'indiques en prenant no=1, l'inégalité* $n!>41nn!\gt 41^n$ n'est pas toujours vraie ...
exemple pour n=2 : $2! = 2$ et $41^2=1681$
Si tu as besoin, il faudra revoir ton énoncé pour cette question.

@mtschoon bonsoir, j'ai remarqué que pour U0 l'inégalité n'est pas toujours vraie comme vous me l'avez certifié donc je ne sais pas comment avancer à partir de ces informations, merci de l'aide !

@Yoann-Creze Bonsoir,

L'énoncé de cette question est-il correct ?

Bonjour,

@Yoann-Creze ,

Je te conseille d'écrire exactement la dernière question , en totalité , telle qu'elle est indiquée dans ton énoncé , car ce que tu indiques ne va pas.

@mtschoon La question est écrit noir sur blanc, démontrer par récurrence que pour tout entier n>n0, n ! >41**n

@Yoann-Creze

Quelle est la valeur de $n_0$ ?

@Noemi n0 est égale à 1

@Yoann-Creze ,

Je t'ai déjà répondu à cette proposition n0=1
Cela voudrait dire que pour tout $n>1n\gt 1$ on a $n!>41nn!\gt 41^n$

Ce n'est pas vrai...

Je t'ai donné l'exemple de n=2
$2!>4122!\gt 41^2$ est fausse (calcule la valeur de chaque membre)

Un autre exemple : n=4
$4!>4144!\gt 41^4$ est fausse (calcule la valeur de chaque membre)

@mtschoon une récurrence peut être fausse ?

@Yoann-Creze ,

Récurrence fausse ne veut rien dire...
Une récurrence est un mode de démonstration.

Par contre, il peut y avoir une erreur dans la question posée.

@Yoann-Creze ,

Je me permets de te donner mes réflexions personnelles sur cette question.

Je trouve très bizarre de parler de $41^n$ alors que toute l'étude précédente est relative à $40^n$
Peut-être faute de frappe dans l'énoncé.

En principe, les questions s'enchainent et le résultat d'une question sert aux questions suivantes.

Alors, je dirais plutôt : $n!>40nn!\gt 40^n$ c'est à dire $40nn!<1\dfrac{40^n}{n!}\lt 1$ c'est à dire $Un<1U_n\lt 1$

D'autre part, $n_0=1$ ne convient pas.

Je pense qu'il faut que tu trouves $n_0$ tel que pour $n>n0n\gt n_0$ , $Un<1U_n\lt 1$

Si tu utilises ce que tu as dû trouver pour la monotonie de la suite $U_n)$ , $U_n)$ est croissante de n=0 (avec $U_0=1$ ) jusqu'à n=39, puis , à partir de 39, décroissante.
La maximum est pour n=39 et, à la calculette,
$U39≈1.48×1016U_{39}\approx1.48\times 10^{16}$

Necessairement , il faut chercher une valeur de $n_0$ supérieure à 39, avec calculette ou tableur.
J'obtiens ( à vérifier avec ta calculette) :
pour n=105 : $U105≈1.52U_{105}\approx 1.52$
pour n=106 : $U106≈0.57U_{106}\approx 0.57$

Je choisirais donc $n_0=105$

Et ensuite, en faisant une récurrence toute simple (vu que l'on connait le sens de variation de la suite), je démontrerais que :
pour tout $n>105n\gt 105$ , $Un<1U_n\lt 1$ c'est à dire $40n<n!40^n \lt n!$

Voilà mes réflexions.
Si tu trouves cela pertinent, fais la démonstration par récurrence.
Sinon, attends la correction de ton professeur.