Mathématiques Suites

Bonjour à tous,
J'ai un devoir en mathématiques et je bloque un peu sur certains points (surtout pour la partie 2)c- de l'exercice, je pense avoir réussi tout le reste)

Voici l'énoncé :

Soit la suite $U_n)$ définie pour tout entier naturel n par : $Un=1n+1U_n=\dfrac{1}{n+1}$

a- Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de n : $Un+1=1n+2U_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}$
b- Déterminer si la suite $U_n)$ est croissante, décroissante ou non monotone : Pour cela on doit faire $U_{n+1}-U_n$ ,
Ici, $1n+2−1n+1\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}$ , je vous passe les calculs, ça donne $−1n2+3n+2\dfrac{-1}{n^2+3n+2}$ comme $n∈Nn\in\mathbb{N}$ , $n2+3n+2>0n^2+3n+2\gt0$ et $−1<0-1\lt0$ donc $−1n2+3n+2<0\dfrac{-1}{n^2+3n+2}\lt0$ , soit $Un+1−Un<0U_{n+1}-U_n\lt0$ et la suite est donc décroissante.

Soit la suite $V_n)$ définie pour tout entier naturel n par : $V_n=n^2+2n+10$

a- Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de n : $V_{n+1}=(n+1)^2+2(n+1)+10=(n+1)(n+3)+10$

b- Déterminer si la suite $V_n)$ est croissante, décroissante ou non monotone : Même technique que dans le 1)b- , ici la différence est égale à $2 n + 3$ et donc comme $n∈Nn\in\mathbb{N}$ , $2n+3>02n+3\gt0$ . Ainsi la suite est croissante.

c- On admet que pour tout n : $Vn>9V_n\gt9$
Montrer que : $n+1=Vn−9n+1=\sqrt{V_n-9}$
En déduire l'expression de $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$

Dans cette partie c- je comprend pas trop comment je dois faire, comment m'y prendre, une démonstration par récurrence ou autre ?

Je vous remercie de votre aide, bonne journée !

@Jérémy-Longeron , bonjour,

Ici, il faut mettre un seul exercice par discussion.

Alors, indique de quel exercice tu veux parler et quelles sont les questions le concernant.

(Tu pourras ouvrir une autre discussion pour ton autre exercice, si besoin)

@mtschoon c'est modifié !

@Jérémy-Longeron ,
Piste,
Calcul direct
$V_n-9=n^2+2n+1=(n+1)^2$
Donc, avec les conditions données
$Vn−9=n+1\sqrt{V_n-9}=n+1$

Conséquence :
$V_{n+1}=(n+1)^2+2(n+1)+10$
Dans cette expression, tu remplaces $n+1)^2$ par $V_n-9$ , $(n + 1$ ) par $Vn−9\sqrt{V_n-9}$ et tu obtiens la réponse à la question.

@mtschoon,
Je te remercie de ton aide.
Bonne fin de journée

@Jérémy-Longeron , de rien !
Bonne fin de journée à toi.