Exercices sur les suites Terminale S

Bonsoir monsieur, madame
[url=https://ibb.co/dJ7Vc3S][img]https://i.ibb.co/BKwQP7m/Sans-titre.png[/img][/url]
Voici les deux exercices que j'ai du mal à faire. Dans l'exercice 1 je voudriais que vous m'aidiez à répondre à la question 2)a), 4)a) et 4)b). Et pour l'exercice 2 La question 2)a), 2)b) et la 3)a).

Merci Beaucoup

@Jahir-Ibrahim , bonjour,

Ici les énoncés scannés ne sont pas autorisés (sauf pour graphiques et tableaux numériques).
Les énoncés doivent être tapés au clavier.
De plus, il ne faut mettre qu'un seul exercice par discussion.

Donc , merci d'écrire un exercice par discussion, pour avoir de l'aide.

Bonjour excusez moi.

Je n'arrive pas à faire mon exercice.
Je voudriez que vous m'aidiez à faire les question suivantes.

On considère la suite (un) définie par :
un+1= (n/2(n+1))*un + (n+2/2(n+1)) et u1 = 4

1)a) Calculer u[sub]n+1[/sub] - 1 en fonction de u[sub]n[/sub] - 1
b) montrer par récurrence que pour tout n appartient N*,un superieur ou egale à 1

Déterminer le sens de variation de (un)

1)a)
(un+1)-1= (n/2(n+1))(un- 1)+ (n+2/2(n+1))
je met au même dénominateur
=(n+2/2(n+1))+(n/2(n+1))(un- 1)(2(n+1))/2(n+1))
=(n+2/2(n+1))+(n/2(n+1))(un- 1)(2n+2))/2(n+1))
=(n+2/2(n+1))+(n/2(n+1))(2nun+2un-2n+2)/2(n+1))
Ensuite je ne sais pas quoi faire

Merci pour votre aide

@Jahir-Ibrahim , re-bonjour,

Je regarde ce que tu as fait , mais je pense que c'est inexact dès la première ligne.

Je reprends le calcul du 1)a)

$Un+1=n2(n+1)Un+n+22(n+1)U_{n+1}=\dfrac{n}{2(n+1)}U_n+\dfrac{n+2}{2(n+1)}$

$Un+1−1=n2(n+1)Un+n+22(n+1)−1U_{n+1}-1=\dfrac{n}{2(n+1)}U_n+\dfrac{n+2}{2(n+1)}-1$

$Un+1−1=n2(n+1)Un+n+2−2(n+1)2(n+1)U_{n+1}-1=\dfrac{n}{2(n+1)}U_n+\dfrac{n+2-2(n+1)}{2(n+1)}$

Après simplification,

$Un+1−1=n2(n+1)Un−n2(n+1)U_{n+1}-1=\dfrac{n}{2(n+1)}U_n-\dfrac{n}{2(n+1)}$

$Un+1−1=n2(n+1)(Un−1)\boxed{U_{n+1}-1=\dfrac{n}{2(n+1)}(U_n - 1)}$

Revois ce calcul de près, et essaie de faire la suite avec ça.

Cette question sert pour les suivantes

@Jahir-Ibrahim, je te donne quelques indications pour les questions suivantes, si besoin.

Pour montrer par récurrence que pour tout n appartient N*,
$Un≥1U_n\ge 1$ , je te laisse faire en détail.

Piste,
$U_1=4$ donc $Un≥1U_n\ge 1$
En supposant que $Un≤1U_n\le 1$ , c'est à dire $Un−1≤0U_n-1\le 0$ avec la formule trouvée à la question précédente, il est très simple de prouver que $Un+1−1≤0U_{n+1}-1\le 0$ , c'est à dire $Un+1≤1U_{n+1}\le1$

Pour trouver le sens de variation de $U_n)$ , tu as dû conjecturer, avec les valeurs de $U_2,U_3,U_4$ , que $U_n)$ est décroissante.

Pour faire la démonstration générale, tu détermines le signe de $U_{n+1}-I_n$

Piste,
$Un+1−Un=n2(n+1)Un+n+22(n+1)−UnU_{n+1}-U_{n}=\dfrac{n}{2(n+1)}U_n+\dfrac{n+2}{2(n+1)}-U_n$

En regroupant les termes contenant $U_n$ :
$Un+1−Un=Un[n2(n+1)−1]+n+22(n+1)U_{n+1}-U_{n}=U_n\biggl[\dfrac{n}{2(n+1)}-1\biggl]+\dfrac{n+2}{2(n+1)}$

Après calculs, tu dois trouver sauf erreur
$Un+1−Un=n+22(n+1)[1−Un]U_{n+1}-U_{n}=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\biggl[1-U_n\biggl]$

Connaissant le signe de $1-U_n$ , le signe de $U_{n+1}-U_{n}$ est très simple à trouver d'où la conclusion souhaitée.

Bon travail.