Division et identification

voici une autre fonction f(x) =(8x^2-4x+1)/2x+1
La question est déterminer les réel a b c tel que f(x) =ax+b+c/2x+1
Déjà le discriminant est négatif donc C’est pas possible pour moi sauf si on fait appel à l’ensemble des nombres complexes

@loicstephan Bonsoir (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Commence par réduire l'expression : $\dfrac{c}{2x+1}$ avec le même dénominateur soit :
$\dfrac{(ax+b)(2x+1)+c}{2x+1}$
soit $f (x) = . . . .$

@Noemi désolé pour la politesse merci déjà voilà en développant j’arrive à
F(x) =(a(2x^2+x)+b(2x+1)+c)/2x+1 et puis je sais pas comment identifier

@loicstephan

Il faut identifier avec les termes en $x$ et constant.
donc ordonner selon les puissances décroissantes de $x$
$f(x)=2ax2+(a+2b)x+b+c2x+1f(x)=\dfrac{2ax^2+(a+2b)x+b+c}{2x+1}$
Puis tu résous le système :
$2 a = 8$ qui donne $a = . . .$
$a + 2 b = - 4$ qui donne $b = . . .$
$b + c = 1$ qui donne $c = . . .$
soit $f (x) = . . . .$

Indique tes résultats si tu souhaites une correction.

@Noemi merci bien en fait ce qu’il faut faire c regrouper selon les puissances de x merci

@loicstephan désolé j’ai oublié le bonjour voilà après calcul sauf erreur j’ai a =4 b =-4 c=5

@loicstephan

C'est juste.

Bonjour,

@loicstephan , Noemi confirmera éventuellement quand elle sera là, mais je viens de faire les calculs : tes résultats sont bons.

$f(x)=4x−4+52x+1f(x)=4x-4+\dfrac{5}{2x+1}$

Bon travail.

@Noemi , bonjour.

Je t'ai cru déconnectée....

@mtschoon salut à vous consernant la suite de l’exercice on en déduit facilement que f(x) admet une asymptote oblique maintenant comment étudier les positions relatives ? Merci

@loicstephan

Si $y$ est l'asymptote oblique, tu étudies le signe de $f (x) - y$ .
Si $\gt0$ , la représentation graphique de la fonction $f$ est au dessus de l'asymptote.
Si $\lt0$ , ....

@Noemi merci madame Noemi

@loicstephan ,

Tu ne l'as pas indiqué, mais je suppose que tu as trouvé que l'équation de l'asymptote oblique est :
$y = 4 x - 4$

Pour pouvoir vérifier tes réponses relatives à la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique, je te joins le schéma
text alternatif

La courbe est en rouge, les deux asymptotes sont en noire :
$y = 4 x - 4$ (asymptote oblique) et $x=−12x=-\dfrac{1}{2}$ (asymptote verticale) (correspondant à la valeur "interdite" de l'ensemble de définition $D=]−∞,−12[∪]−12,+∞[D=]-\infty, -\dfrac{1}{2}[ \cup ]-\dfrac{1}{2},+\infty[$ )

@mtschoon merci bien j’avais déjà deduis l’es position à partir de mon tableau de signe
Ma préoccupation est là suite est il possible d’etudier Les positions relatives si on a une asymptote du type f(x)-y= 2x-3/x^2+1 là je ne vois que des racines complexes!

@loicstephan je veux dire en fait que si on est à l’ordre 3 montrer qu’on a une asymptote oblique revient.l à vérifier que l’un de f(x) -(ax^2 +bx+c) = 0 n’est ce pas? Dans ce cas qu’en est il si a l’ordre 3 on a plutôt la forme f(x) = ax+b + (cc+d)/x^2+1

@loicstephan

Pour $\dfrac{2x-3}{x^2+1}$
Pour rechercher les positions relatives, étudie le signe du terme de droite.

Bonjour,

@loicstephan , ce que tu dis est bizarre. Tu travailles dans R, donc tu n'as pas à chercher de racines complexes.

Pour le signe de $2x−3x2+1\dfrac{2x-3}{x^2+1}$ :

Condition d'existence ; dénominateur non nul
$x2+1≠0x^2+1\ne 0$
Cela est toujours vrai sur R
Pour tout x réel : $x2≥0x^2\ge 0$ donc $x2+1>0x^2+1\gt 0$
L'ensemble de définition est D=R.
Sur R, le dénominateur est strictement positif.

$2x−3x2+1\dfrac{2x-3}{x^2+1}$ est donc du signe de $2 x - 3$

Tu as donc 3 cas
1er cas :
$2 x - 3 = 0$ <=> $x=32x=\dfrac{3}{2}$ la courbe coupe l'asymptote au point d'abscisse $x=32x=\dfrac{3}{2}$
2ème cas :
$2x−3>02x-3\gt 0$ <=> .........................(tu continues)
3ème cas :
$2x−3<02x-3\lt 0$ <=> .........................(tu continues)

@mtschoon merci c compris 2 cas la courbe est au dessus et 3 cas la courbe est en dessous

@loicstephan dc pour résumer on peut dire ceci
A l’ordre 2 lim f(x)-(ax+b)=0
A l’ordre 3 lim f(c) -(ax^2+bx+c)=0
Ainsi de suite

@loicstephan , je pense que tu as bien compris.