Phosphore 32 et demi-vie

Bonjour à tous j'aimerais avoir de l'aide. Je bloque sur 2 questions de mon devoir maison:

La variable aléatoire X égale à la durée de vie en jours d'un atome de Phosphore 32 avant désintégration suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,0486

Calculer P(X > 33)
La demi-vie d'une substance radioactive est la durée t nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents se désintègrent (c'est à dire la durée t tel que P(X < t)= 0,5).
Calculer à 0,1 jour près la demi-vie du phosphore 32.

Pour la question 1 j'ai écris :
P( X > 33) = e ^ -0,0486 x 33
Mais je ne sais pas combien cela fait...

Pour la question 2 j'ai écris:
P( X < t) = 1 - e ^ -0,0486 x t
1 - e^ -0,0486t = 0,5

Mais ensuite je suis bloquée... merci d'avance.

Bonjour Kenza-Beloudi,
Pour la question 1, utilise la touche $e^x$ de la calculatrice.
Pour résoudre l'équation : $1 - e^{-0,486t}=0,5$
$e^{-0,486t}=0,5-1$
soit $e^{-0,486t}=0,5$ comme $0,5>00,5\gt0$
soit $lne^{-0,486t}=ln0,5$
$−0,486t×lne=ln0,5-0,486t\times lne=ln0,5$

Je te laisse poursuivre. Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.

Qu'est-ce que ln ? Fonction logarithme ? Je ne sais du coup pas comment faire car je suis en maths complémentaires et on ne l'a pas vu...

@Kenza-Beloudi

C'est un exercice de sciences physiques ?
Pour le calcul, utilise la touche "ln" de la calculatrice.
$t=ln0,5−0,0486=14,26..t=\dfrac{ln0,5}{-0,0486} = 14,26..$
je te laisse conclure.

Bonjour,

@Kenza-Beloudi , tu ne peux pas utiliser les logarithmes ( car tu ne les as pas encore vus)

Il faut donc que tu fasses avec la fonction exponentielle et ta calculette graphique (ou autre outil qui te donne les valeurs de la fonction exponentielle)

Pistes possibles

Sur ta calculette la variable t doit s'appeler x
Tu inscris donc la fonction $Y=f(x)=e^{-0.0486x}$

Tu peux observer la représentation graphique pour te donner une idée des valeurs

Pour la question 1)
Tu vas à TABLE ( ou quelque chose qui veut dire pareil)
En donne 33 pour valeur de départ, tu obtiens
$f(33)≈0.20113f(33)\approx 0.20113$
A 0.1 près, la réponse peut s'écrit $0.2$

Pour la question 2), tu peux voir avec le graphique, que la valeur de x (c'est à dire t) cherchée est un peu supérieure à 14
Tu peux régler TABLE avec 14 comme valeur de départ et 0.1 comme pas.

Tu dois obtenir ( f est strictement décroissante)
$f(14.2)≈0.50152f(14.2)\approx 0.50152$
$f(14.3)≈0.49908f(14.3)\approx 0.49908$

Vu que 0.5 est compris entre 0.49908 et 0.50152 , tu peux déduire que $14.2<t<14.314.2\lt t\lt 14.3$

valeur par défaut à 0.1 près : $14.2$
valeur par excès à 0.1 près : $14.3$

Remarque : ce que je t'indique correspond aux notations de ma calculette.
Pour la tienne, il faudra adapter.

@Kenza-Beloudi ,

Je te donne une illustration graphique ( que tu peux observer sur la calculette)

Le représentation graphique de f est en rouge
La réponse à la question 1 correspond au point A
La réponse à la question 2 correspond au point B

text alternatif

@Noemi

Merci ! Mais pourquoi lne ^ -0,486t = ln 0,5

0,486t x lne= ln 0,5 ?

Est-ce la même chose que de faire directement :

e^ -0,486t= 0,5

-0,486t= Ln0,5

T= 0,5 / - 0,486 ?

@mtschoon

Merci beaucoup ! J'ai une dernière question pour la partie B qui était :

On injecte à un patient une solution contenant 4x10^15 noyaux de phosphore 32. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 4,8%. On note Un le nombre de noyaux au bout de n jours.
On a donc U0 = 4x10^15

Exprimer Un+1 en fonction de Un. En déduire la nature de la suite (Un).
-Un+1= 0,952 x Un. Alors Un est une suite géométrique de raison 0,952.
Exprimer Un en fonction de n.

Un est une suite géométrique de raison 0,952 et de premier terme U0= 4x10^15.
Donc Un= 4x10^15 x 0,952^n

Déterminer à partir de combien de jours le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié.

C'est la question à laquelle je bloque, car je n'ai pas vu la fonction logarithme et je ne sais donc pas comment faire...

@Kenza-Beloudi

Le passage de
$e^ {-0,486t}= 0,5$ à $- 0, 486 t = l n 0, 5$ est juste donc possible
après cela donne $t=ln0,5−0,486t=\dfrac{ln0,5}{-0,486}$

Pour la dernière question de la partie B, tu résous :
$4×1015×(0,952)n≤4×101524\times10^{15} \times(0,952)^n\leq\dfrac{4\times10^{15}}{2}$

4x 10^15 x (0,952)^n ≤ 4x 10^15 /2
= 4x 10^15 x (0,952)^n ≤ 2 x 10^15
= 0,952 ^n ≤ 2 x 10^15 / (4x10^15)
= 0,952 ^n ≤ 0,5.

Mais ensuite je suis bloquée

@Kenza-Beloudi ,

Vu que tu ne connais pas les logarithmes, tu appliques la méthode calculette que je t'ai indiqué précédemment.

Tu prends $f(x)=0.952^x$
Dans TABLE , tu pends prendre 0 pour valeur de départ et le pas de 1 .
Tu observes à a partir de quelle valeur de x (qui représente n) f(x) devient inférieur à 0.5

@Kenza-Beloudi ,

J'espère que tu as abouti.

( ma calculette me donne $n≥15n\ge 15$ )