Montrer par récurrence

[Bnhadouch Yassir]

Montrons par récurrence .Quelque soit n appartient à l'ensemble N . 9/4^n+6n-1 (le symbole"/" signifie "divise"

[Bnhadouch Yassir]

@Bnhadouch-Yassir a dit dans Montrer par récurrence :

Montrons par récurrence .Quelque soit n appartient à l'ensemble N . 9/4^n+(6n-1 )(le symbole"/" signifie "divise"

[mtschoon]

@Bnhadouch-Yassir , bonjour,
Ici, la politesse n'est pas une option .
Un petit "bonjour", "bonsoir", "merci" fait plaisir à ceux qui viennent apporter leur aide.
Penses-y une autre fois;

Piste,
Tu veux donc démontrer par récurrence que pour tout n de N, il existe un entier k tel que $4^n+6n-1=9k$

Initialisation pour n=0
$4^0+6.0-1=0$ donc k=0

Transmission
Hypothèse à un ordre n :
il existe un entier k tel que $4^n+6n-1=9k$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1)
il existe un entier k' tel que $4^{n+1}+6(n+1)-1=9k^{\prime }$

Un début de démonstration possible
$4^{n+1}+6(n+1)-1=4\times 4^n+6n+6-1$
Grace à l'hypothèse de la récurrence, tu peux remplacer $6n-1$ par $9k-4^n$
D'où
$4^{n+1}+6(n+1)-1=4\times 4^n+9k-4^n+6$
$4^{n+1}+6(n+1)-1=3\times 4^n+9k+6$
$4^{n+1}+6(n+1)-1=3(4^n+2)+9k$

Il te reste à faire une petite récurrence (ou un calcul par congruence, si tu connais) pour prouver que $4^n+2$ est multiple de 3 et tu auras la conclusion cherchée.

[Bnhadouch Yassir]

@mtschoon merci beaucoup

[Bnhadouch Yassir]

@Bnhadouch-Yassir et je m'excuse

[Bnhadouch Yassir]

@mtschoon tu as raison. Excuse moi

[mtschoon]

@Bnhadouch-Yassir , ne te fais pas de soucis, tu es excusé.
Tu as simplement oublié.
Tiens nous au courant sur récurrence, si besoin.

[Bnhadouch Yassir]

@mtschoon oui oui

[loicstephan]

@Bnhadouch-Yassir j’avoue que je ne comprend pas la fin !

[Noemi]

@loicstephan Bonsoir,

Tu ne comprends pas à partir d'où ?

[loicstephan]

@Noemi a partir de la substitution de 4^n-1

[Noemi]

@loicstephan

Il faut démontrer que : $4^{n+1}+6(n+1)-1=9k^{\prime }$
$4^{n+1}+6(n+1)-1=4^n\times 4+6n+6-1=4^n\times 4+6n+5$
Or $4^n+6n-1=9k$,
Une autre piste possible
On pose $4^n=9k-6n+1$
d'ou
$4^n\times 4+6n+5=4(9k-6n+1)+6n+5=36k-24n+4+6n+5=$

Je te laisse terminer et conclure.

[loicstephan]

@Noemi je parviens à 5k=1-2n

[loicstephan]

@loicstephan k est diviseur de 1-2n

[Noemi]

@loicstephan

Le résultat est 36k-18n+9 = 9(4k-2n+1) soit 9k'
Donc .....

[mtschoon]

Bonjour,

C'est un peu gênant qu'il y aies deux "fins"différentes.
Il aurait mieux valu attendre qu'une explication soit complète et comprise , avant d'en donner une autre.

Pour plus de clarté, je reprendre successivement chacune des deux fins.

1ère substitution proposée
Vu que , par hypothèse de la récurrence, , $4^n+6n-1=9k$, on peut, par exemple, remplacer $6n-1$ par $9k-4^n$
Les 3 lignes de calcul qui suivent donnent :
$4^{n+1}+6(n+1)-1=3(4^n+2)+9k$

Reste à justifier que $4^n+2=3p$, avec p entier
Avec les congruences
$4\equiv 1[3]$,$4^n\equiv 1[3]$, $2\equiv -1[3]$ donc $4^n+2\equiv 0[3]$
ou bien par récurrence
Pour n=0, $4^0+2=3$ donc p=1
Pour n : $4^n+2=3p$ donc $4^n=3p-2$
Pour n+1 :
$4^{n+1}+2=4(4^n)+2=4(3p-2)+2=3(4p-2)$

Conclusion :
$4^{n+1}+6(n+1)-1=3(3p)+9k=9(p+k)$ donc la réponse souhaitée.

2ème substitution proposée
Vu que , par hypothèse de la récurrence, , $4^n+6n-1=9k$, on peut, par exemple, remplacer $4^n$ par $9k-6n+1$

d'où:
$4^{n+1}+6(n+1)-1=4(4^n)+6n+5$
$4^{n+1}+6(n+1)-1==4(9k-6n+1)+6n+5$
Avec les calculs faits, on arrive à :
$4^{n+1}+6(n+1)-1=36k-18n+9$
$4^{n+1}+6(n+1)-1=9(4k-2n+1)$
d'où la conclusion souhaitée.

Bonne lecture.

[loicstephan]

@mtschoon bonjour et merci bien pour les développements dans récurrence ce qui m’embe C pas les calculs c’est la conclusion en fait
Au cas d’espece Il faut montrer dc que 9(4K-2n+1) =9k ? L’objectif c’etait De trouver à n+1 un k tel que ce k soit diviseur !

[Noemi]

Bonjour loicstephan,

Il faut démontrer qu'à l'ordre (n+1), il existe un entier k' tel que $4^{n+1}+6(n+1)-1=9k^{\prime }$
C'est à dire que l'expression est un multiple de 9 (ou divisible par 9)
Or on trouve $4^{n+1}+6(n+1)-1=9(4k-2n+1)$ avec $k^{\prime }=4k-2n+1$
L'expression est bien divisible par 9.

[mtschoon]

@loicstephan ,

Pour la conclusion :
Il faut justifier qu'il existe un entier $k^{\prime }$ tel que $\boxed{4^{n+1}+6(n+1)-1=9k^{\prime }}$

$k$ et $n$ sont des entiers donc $4k-2n+$1 est un entier, donc on pose : $\boxed{4k-2n+1=k^{\prime }}$

Ainsi, on a bien trouvé $k^{\prime }$entier tel que $4^{n+1}+6(n+1)-1=9k^{\prime }$

[loicstephan]

@mtschoon merci bcp

[mtschoon]

De rien @loicstephan et bon travail.

[loicstephan]

@mtschoon j’ai une autre méthode malheureusement pour écrire j’O Besoin de savoir comment écrire les expressions mathématique sur le site ! Je suis sous iPhone

[mtschoon]

@loicstephan ,

Sur le forum, pour écrire les expressions mathématiques, on utilise le Latex/Katex.
Les expressions doivent être tapées entre les balises $ et $.

Je te mets un lien si tu veux apprendre à l'utiliser :
https://forum.mathforu.com/category/26/latex

[loicstephan]

@mtschoon voilà on veut démontrer qu’a L’ordre n+1 notre expression $4^n+6n-1$=9k
L’expression est vrai au rang 0 comme montré précédemment
Supposons donc l’expression vrai au rang n et montrons que l’expression est vraie au rang n+1 c’est à dire à n+1, il est possible d’obtenir $4^{n+1}+6(n+1)-1=9k^{\prime }$avec $k’$ entier naturel ! C donc dire que l’expression a l’ordre n+1 est multiple de 9
Partons de l’ordre n on a :
$4^n+6n-1=9k$ en multipliant par 4 l’expression on a : $4^{n+1}+24n-4=36k$ en ajoutant et en retranchant respectivement 6 et 1 on a :
$4^{n+1}+6n+18n+6-6+1-1-4=36k$
$4^{n+1}+6(n+1)-1+18n-6-4+1=36k$
$4^{n+1}+6(n+1)-1=36k-18n+9$
$4^{n+1}+6(n+1)-1=9(4k-2n+1)$
En posant $k’=4k-2n+1$ Avec $k’$ entier naturel car n et k sont des entiers on a :
$4^{n+1}+6(n+1)-1=9k’$
Conclusion l’expression est multiple de 9 et donc est vraie à n+1

Qu’en pensez vous?

[Noemi]

@loicstephan

C'est correct. J'ai rectifié l'écriture pour l'exposant de 4.

[loicstephan]

@mtschoon bonjour! voilà on veut démontrer qu’a L’ordre n+1 notre expression $4^n+6n-1=9k$
L’expression est vrai au rang 0 comme montré précédemment
Supposons donc l’expression vrai au rang n et montrons que l’expression est vraie au rang n+1 c’est à dire à n+1 il est possible d’obtenir $4^{(}n+1)+6(n+1)-1=9k’$ avec k’ entier naturel ! C dons dire que l’expression a l’ordre n+1 est multiple de 9
Partons de l’ordre n on a :
$4^n+6n-1=9k$ en multipliant par 4 l’expression on a :
$4^{(}n+1)+24n-4=36k$
en ajoutant et en retranchant respectivement 6 et 1 on a :
$4^{(}n+1)+6n+18n+6-6+1-1-4=36k$
$4^{(}n+1)+6(n+1)-1+18n-6+1-4=36k$
$4^{(}n+1)+6(n+1)-1=36k-18n+9$
$4^{(}n+1)+6(n+1)-1=9(4k-2n+1)$
En posant k’=4k−2n+1 Avec k’ entier naturel car n et k sont des entiers on a :
$4^(n+1)+6(n+1)−1=9k’
Conclusion l’expression est multiple de 9 et donc est vraie à n+1

Qu’en pensez vous?
Il y a des erreurs de syntaxe dans ce qui a précédemment été publié

[loicstephan]

@Noemi okay madame c ce que j’ai essayé de faire de maitrise pas encore cette écriture !

[Noemi]

@loicstephan

Pour l'exposant, il faut mettre des accolades et non des parenthèses.

[mtschoon]

@loicstephan ,

Tu démarche est bonne. ; ça fait donc une troisième démonstration pour cette récurrence.
Bravo !

Comme vient te le dire Noemi, en Latex, pour écrire 4 à la puissance (n+1), tu dois écrire , sans espace : $ 4^{n+1}$ et tu obtiens $4^{n+1}$

[loicstephan]

@mtschoon bonsoir merci

[mtschoon]

De rien @loicstephan.
C'est un très bonne idée de te mettre au Latex .
Dans l'avenir, cela te sera utile si tu as besoin de faire une rapport ou un mémoire contenant des formules mathématiques.
Ce n'est pas facile, mais, petit à petit, on s'y fait...

[loicstephan]

@mtschoon bonjour merci j’aimerais une petite vérification
Voilà on veu montrer par récurrence que
$1+2+...+n=(n(n+1))/2$
En initialisant je montre que le membre de droite est égal à $0$ ce qui rend l’equation Nulle
Maintenant pour l’heredite Je montre que
$((n+1{)}^2+(n+1))/2=1+2+...+n$
$(n^2+2n+1+n+1)/2=1+2+...+n$
$(n(n+1)+2(n+1))/2=1+2+...+n$
$n(n+1)/2+2(n+2)/2=1+2+...+n$
$n(n+1)/2+n+2=1+2+...+n$
$n(n+1)/2=1+2+...+n-n-2$
$n(n+1)/2=1$ entier naturel
Est ce vrai?
Merci pour vos réponses !

[mtschoon]

@loicstephan , rebonjour,

Deux choses ne conviennent pas dans ce que tu écris.

La propriété que tu indiques est valable pour $n\in N^{\ast }$

L'initialisation est donc pour n=1
L'égalité s'écrit : $1=\frac{1(2)}{2}$ , ce qui est exact.

Pour l'hérédité , il faut remplacer n par (n+1) dans chaque membre, c'est à dire qu'il faut prouver que :
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}=1+2+...+n+(n+1)$
c''est à dire, si tu préfères :
$\frac{(n+1{)}^2+(n+1)}{2}=1+2+..+n+(n+1)$

Il manque (n+1) dans le membre de droite que tu indiques.

[mtschoon]

@loicstephan ,

Je t'indique une démonstration possible de l'hérédité
Hypothèse : $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
Conclusion à démontrer :$1+2+..+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Démonstration :
En ajoutant (n+1) à chaque membre de l'égalité de l'hypothèse, tu obtiens :
$1+2+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

En réduisant au même dénominateur 2 les deux fractions du membre de droite:
$1+2+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}$

En transformant très simplement le membre de droite, tu obtiens le résultat voulu.

[mtschoon]

Remarque :
Evidemment, cette formule $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ peut être prouvée sans récurrence en utilisant les propriétés des suites arithmétiques.
$1+2+...+n$ est la somme S des n premiers termes de la suite arithmétique de raison 1, de premier terme 1 et de dernier terme n.

$S=nombredetermes\times \frac{1erterme+dernierterme}{2}$

On obtient ainsi directement:
$S=n\times \frac{1+n}{2}$

d'où

$S=\frac{n(n+1)}{2}$

[loicstephan]

@mtschoon justement pour quoi on rajoute ce n+1? Dans le membre de droite en remplaçant n par n+1 on obtient exactement n+1 !

[loicstephan]

@mtschoon dans ton menvre de gauche il y a $n$ pour quoi tu obtiens $n+(n+1)$

[mtschoon]

@loicstephan ,

Pour comprendre :

$1+2+...+5$ veut dire somme de tous les naturels compris entre 1 et 5, c'est à dire : 1+2+3+4+5

$1+2+...+n$ veut dire somme de tous les naturels compris entre 1 et n .
En détaillant un peu plus :
$1+2+...+n=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n$

$1+2+...+(n+1)$ veut dire somme de tous les naturels compris entre 1 et (n+1) .
En détaillant un peu plus :
$1+2+...+(n+1)=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n+(n+1)$

Réfléchis à cela et reposte si ce n'est pas suffisant.

Remarque : il y a des écritures plus rigoureuses avec le symbole $\sum$
Je te l'indiquerai si tu le souhaites, mais la démarche sera la même.

[loicstephan]

@mtschoon je comprend mais ce qui nous intéressait c’est somme de 1 à n pourquoi l’aparition Du n+(n+1) car mn a l’heredite On aurait eu juste n+1

[mtschoon]

@loicstephan ,

Je reprends les principe du raisonnement par récurrence,pour l'hérédité.

Hypothèse de l'hérédité ;
La somme des naturels de 1 à n vaut $\frac{n(n+1)}{2}$

Conclusion de l'hérédité à démontrer :
(on remplace n par (n+1)
La somme des naturels de 1 à (n+1) vaut $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Il faut comprendre ce que représente la somme des naturels de 1 à (n+1) .
Je pense que c'est là ton problème.

Regarde ma réponse précédente.

Je te redonne un exemple :
la somme des naturels de 1 à 5 vaut 1+2+...+5=1+2+3+4+5
la somme des naturels de 1 à 6 vaut 1+2+...+6=1+2+3+4+5+6=(1+2+3+4+5)+6
La somme des naturels de 1 à 6 est égale à ( la somme des naturels de 1 à 5)+6
Dans cet exemple, j'ai pris n=5 donc (n+1)=6

De façon générale, La somme des naturels de 1 à (n+1) est égale à : ( la somme des naturels de 1 à n)+(n+1), c'est à dire :
$1+2+...+(n+1)=(1+2+...+n)+(n+1)$

En bref, il faut imaginer ce qui se cache dans les pointillés, et comprendre que le terme qui précède (n+1) est n.
Si c'était utile, ce qui n'est pas le cas ici, on pourrait écrire :
$(1+2+...+(n+1)=1+2+...+(n-2)+(n-1)+n+(n+1)$

Evidemment, au lieu des pointillés, les écritures avec $\sum$ seraient plus rigoureuses , mais je suppose que tu ne les connais pas, alors, j'évite.

Bonne réflexion.

[loicstephan]

@mtschoon merci c compris !

[mtschoon]

@loicstephan, c'est parfait si tu as compris car c'était simple mais pas facile à expliquer...