Exercice logique merci d'avance

Salut
1/(n+1)+1/(n+2).....1/(n+n)<3/4

@Bnhadouch-Yassir Bonsoir,

L'énoncé est complet ?

Bonjour,

@Bnhadouch-Yassir , je te donne une idée possible pour démontrer cette inégalité .

Si tu connais, le membre de gauche est une somme de Riemann.

Pour x > 0, tu représentes la fonction f définie par $f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}$
Sur l'axe des abscisses, tu places les points d'abscisses n,n+1,n+2,,,...,,n+n, avec n>0)

Tu construis les rectangles de" largeur 1" et de "hauteurs " successives $1n,1n+1,1n+2,...,1n+n\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n+2},...,\dfrac{1}{n+n}$

Ces rectangles sont "sous la courbe"

Leurs aires respectives sont
$1n+1×1,1n+2×1,...,1n+n×1\dfrac{1}{n+1}\times1, \dfrac{1}{n+2}\times1,..., \dfrac{1}{n+n}\times1$ , c'est à dire :
$1n+1,1n+2,...,1n+n\dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n+2},..., \dfrac{1}{n+n}$

La somme des aires de ces rectangles est :
$1n+1+1n+2+...+1n+n\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}$

En comparant cette somme avec "l'aire sous la courbe", tu obtiens
$1n+1+1n+2+...+1n+n<∫n2n1xdx\boxed{\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}\lt \displaystyle{\int_n^{2n}\dfrac{1}{x}dx}}$

Donc,
$∫n2n1xdx=\displaystyle{\int_n^{2n}\dfrac{1}{x}dx}=$ $[ln(x)]n2n=ln(2n)−ln(n)=ln(2nn)=ln(2)\biggl[ln(x)\biggl]_n^{2n}=ln(2n)-ln(n)=ln( \dfrac{2n}{n})=ln(2)$

$ln(2)≈0.693ln(2)\approx0.693$

donc $ln(2)<34ln(2)\lt \dfrac{3}{4}$

Tu tires la conclusion.

Reposte si besoin.

@Bnhadouch-Yassir ,

Une illustration graphique qu'il faut compléter jusqu'à (n+n), c'est à dire 2n

text alternatif

@mtschoon merci beaucoup j'ai une autre méthode si tu veux je peux la écrire

@Bnhadouch-Yassir , c'est avec plaisir que nous lirons ton autre méthode , et nous te dirons ce que l'on en pense.

@mtschoon

@Bnhadouch-Yassir , tu as eu peut-être un problème technique, car ta dernière intervention est vide...