Maths Spé Terminale : suites

Bonjour,
J’ai un dm de maths sur les suites à rendre pour ce lundi. J’ai réussi la quasi-totalité mais je bloque sur 2 questions.

Voici le sujet :

Exercice 1:

Pour tout entier naturel, on note Tn la température du café à l’instant n . Ton est exprimé en degré Celsius et n en minutes. La loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n+1 par l’égalité :

Tn+1 - Tn = 0,2(Tn-18) avec T0 = 90

On a aussi Tn+1= 0,8Tn + 3,6
(formule que j’ai démontré).

On pose pour, tout entier naturel n, Un = Tn-18
a) Montrer que (Un) est géométrique de raison q=0,8.

( J’ai commencé cette question avec la formule
q = Un+1/ Un, mais je suis bloqué à une étape.)
Ce que j’ai fait :

q = Un+1/ Un
= Tn+1-18/ Tn-18
= (0,8Tn+3,6)-18/ Tn-18
= -14,4Tn-64,8/Tn-18
= .... ?

Exercice 2 :

Soit (Un) une suite définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 3Un/1+2 Un.

Considérons la fonction f, définie pour tout x appartenant à [0;1] par f(x) = 3x/1+2x

a) On pose g(x) = f(x) - x. Montrer que g s’écrit :

g(x) = 2x(1-x)/1+2x.

Ce que j’ai fait :

g(x) = f(x) -x
= (3x/1+2x) - x
= 3x/1+2x - x+2x^2/ 1+2x
= 3x-x+ 2x^2/ 1+2x
= 2x+2x^2/1+2x
= 2x(2x+1)/1+2x
= ....?

Je vous remercie de m’aider si vous pouvez, me donner une piste ou dire si j’ai fait une faute quelque part.
Cordialement...

Bonjour Arya_Reyes,

Attention, un seul exercice par post. la prochaine fois propose 2 posts.
Pour faciliter la lecture, mets des parenthèses.

pour la question 3 :
L'erreur est à la quatrième ligne :
q = Un+1/ Un
= (Tn+1-18)/ (Tn-18)
= (0,8Tn+3,6)-18/ (Tn-18)
= (0,8Tn-14,4)/(Tn-18)

= 0,8(......)/(Tn-18)
= ....

Pour l'autre calcul, l'erreur est dans la troisième ligne :
g(x) = f(x) -x
= (3x/1+2x) - x
= 3x/(1+2x) - (x+2x^2/( 1+2x)
= (3x-x- 2x^2)/ (1+2x)
= ....

@Noemi

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre aide. Je vais essayer de revoir mes calculs.

Cordialement,

@Arya_Reyes

Indique tes résultats si tu souhaites une vérification.

@Noemi

J’ai réussi à faire le premier :

q = 0,8 (en factorisant par 0,8)

Mais je bloque toujours dans le deuxième :
(3x-x-2x^2)/(1+2x)
= (2x-2x^2)/(1+2x)
= (2x(1-2x))/(1+2x)

Or je doit trouver : (2x(1-x))/(1+2x)...

@Arya_Reyes

$g (x) = f (x) - x$
$\dfrac{3x}{1+2x} - x$
$\dfrac{3x}{1+2x} - \dfrac{x(1+2x)}{1+2x}$

$\dfrac{3x-x-2x^2}{1+2x}$

$\dfrac{2x-2x^2}{1+2x}$

$\dfrac{2x(1-x)}{1+2x}$

@Noemi

Mercii beaucoup!